Aquí os pongo el listado de problemas de la unidad
Veamos los diferentes tipos de problemas que vamos a resolver en esta unidad:
1.- PROPORCIONALIDAD
Aquí os pongo el enlace a la entrada de 2ESO en la que se explican los problemas de proporcionalidad directa, inversa y compuesta.
2.- REPARTOS PORPORCIONALES:
Ejemplo: Carles, Vanessa
y Sergio juegan a la quiniela. Carles pone 1€, Sergio 2€ y Vanessa 3€. Les toca
el pleno al 15, que son 614.412€. ¿Cuánto le toca a cada uno?
Carles 1€
1/6 de 614.412= 102.402€
Vanessa 3€
3/6 de 614.412= 307.206€
Sergio 2€
2/6 de 614.412= 204.804€
Total apuesta: 6€ Total:
614.412€
3.- PORCENTAJES:
Recordemos cómo se calculaban los porcentajes con el siguiente ejemplo:
25% de 56=(25/100)·56=25·56/100=14
también podemos verlo de la siguiente forma:
25% de 56=(25/100)·56=0'25·56=14
éste
es el tipo de cálculo que nos interesa para este curso; no sólo ver un
porcentaje como una fracción si no también en su expresión decimal. Esta
forma es más ventajosa para resolver problemas.
Se nos pueden plantear 3 tipos de preguntas:
- 3.1) Cálculo de un porcentaje directo, como hemos visto en el ejemplo anterior.
- 3.2) Cálculo del total, conociendo el porcentaje:
Ejemplo 1:
En una clase de 3ESO, 8 alumnos llevan gafas, lo que
representa el 40% de la clase. ¿Cuál es el total de alumnos de la clase?
40% del total = 8 => 40% de x=8 => (40/100)·x=8 =>0,4·x=8 =>
x=8/0,4=20 alumnos.
Es decir, hacemos la operación inversa al caso anterior.
También lo podemos ver, operando con fracciones como:
x=8·100/40
- 3.3) Cálculo del porcentaje, conociendo el total y la parte:
Ejemplo 2:
Una familia tiene de ingresos mensuales 1245€ y gasta
en la hipoteca de su vivienda 435€, ¿qué porcentaje del presupuesto
mensual representa la hipoteca?
x% de 1245=435 => (x/100)·1245=435 =>
x=(435/1245)·100=34,94%
Es decir, en este caso, dividimos la parte por el total y multiplicamos por 100 para poder expresarlo como un porcentaje.
Así,
%=(PARTE/TOTAL)·100
AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES
Los
aumentos y disminuciones porcentuales se aplican en la vida real
infinitas veces, impuestos, rebajas, operaciones comerciales, bancos,
etc... Es fundamental que entendamos bien este concepto. Vamos a ello.
- 3.4) Aumentos porcentuales, cálculo del IVA.
Ejemplo 3:
La cuenta de un restaurante indica: 25€+10% de IVA
Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:
10% de 25=(10/100)·25=0,1·25=2,5€ de IVA
Así, el precio final, con el IVA incluído es :2,5+25=27,5€
En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:
Aumentar un 10% es sumar 10€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el 110% de la cantidad inicial. Así,
110% de 25=(110/100)·25=1,10·25=27,5€
Es decir, para aumentar un x% una cantidad multiplicamos por (1+x/100)
Este
procedimiento es más ventajoso, ya que con una sola operación obtenemos
el cálculo y nos permite realizar el proceso inverso de una forma muy
rápida y simple:
Ejemplo 4:
Sabiendo que unos pantalones valen 42€, con un IVA incluído del 21%, calcula el precio sin IVA.
En este caso: 1,21·x=42 =>
x=42/1,21=34,71€
- 3.5) Disminuciones porcentuales, rebajas.
Un procedimiento análogo utilizamos para calcular rebajas.
Ejemplo5:
En un tienda de ropa vemos un cartel "TODO AL 25% DE DESCUENTO", ¿cuánto me costarán unos pantalones que valen 42€?
Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:
25% de 42=(25/100)·42=0,25·42=10,50€ derebaja
Así, el precio final, descontando la rebaja es : 42-10,50=31,50€
En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:
Disminuir un 25% es restar 25€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el (100-25)%=75% de la cantidad inicial. Así,
75% de 42=(75/100)·42=0,75·42=31,50€
Es decir, para disminuir un x% una cantidad multiplicamos por (1- x/100)
Igual que en el caso de los aumentos, nos viene muy bien para realizar el cálculo inverso:
Ejemplo 6:
¿Cuál era el precio inicial de una chaqueta que me ha costado 60€, sabiendo que lleva un 25% de descuento?
En este caso: 0,75·x=60 => x=60/0,75=80€
¡OJO!
No confundir con aumentar un 25%, que no dará el mismo resultado:
60·1,25= 75
- 3.6) PORCENTAJES ENCADENADOS
Muy a menudo se aplican porcentajes encadenados a un determinado concepto. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 7:
En septiembre el precio de la gasolina era de 1,409€/l, en octubre experimentó una subida del 3%, en noviembre otra subida del 5%, en diciembre bajó ligeramente un 2% y en enero volvió a subir un 7%. ¿Cuál es el precio final de la gasolina?¿Qué variación porcentual ha experimentado al final de estos cuatro meses?
Vamos a plicar sucesivamente los incrementos y disminuciones porcentuales:
1,409·1,03·1,05·0,98·1,07=1,598€/l
El porcentaje final lo podemos determinar de dos formas:
1.- Multiplicando todas las variaciones:
1,03·1,05·0,98·1,07=1,1340609
Así obtenemos que: 1,1340609-1=0,1340609
Para pasarlo a %: 0,1340609·100=13,40609
Aproximando, diremos que la gasolina ha subido un 13,4% en ese período de tiempo
2.- Calculando el cociente entre la cantidad final y la inicial:
Variación %= C.Final/C.Inicial
En este caso: 1,598/1,409=1,134
Con el mismo procedimiento que en el caso anterior, llegamos a la conclusión de que la gasolina ha subido un 13,4%
Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese período?
1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses
En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses
Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€
Fórmula del interés simple:
En el
interés compuesto los intereses se suman al capital para generar nuevos
intereses, este caso es más ventajoso para el cliente, pero no puede disponer
del dinero hasta el vencimiento.
Ejemplo:
Ingreso 6000€ a 2% de interés compuesto anual durante 4 años.
1º año
6000+2% de 6000€= 6000·1,02=6120€
2º año
6120+2% de 6120€ =6120·1,02=6000·1,02·1,02=6000·1,022=6242,40€
3º año
6242,40+2% de 6242,40 = …= 6000·1,023=6367,25€
4ª año …
6000·1,024= 6494,59€
De este análisis obtenemos la siguiente expresión:
Fórmula: Cf=Ci·(1+%/100)t
Cf= Capital final
Ci= Capital inicial
t= tiempo
en años
