3ESO. T4. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Aquí os pongo el listado de problemas de la unidad

Veamos los diferentes tipos de problemas que vamos a resolver en esta unidad:

1.- PROPORCIONALIDAD

Aquí os pongo el enlace a la entrada de 2ESO en la que se explican los problemas de proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

2.- REPARTOS PORPORCIONALES:

Ejemplo: Carles, Vanessa y Sergio juegan a la quiniela. Carles pone 1€, Sergio 2€ y Vanessa 3€. Les toca el pleno al 15, que son 614.412€. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Carles              1€   1/6 de 614.412= 102.402€

Vanessa           3€   3/6 de 614.412=  307.206€ 

Sergio              2€   2/6 de 614.412=  204.804€

Total apuesta:   6€                    Total: 614.412€

3.- PORCENTAJES:

Recordemos cómo se calculaban los porcentajes con el siguiente ejemplo:

25% de 56=(25/100)·56=25·56/100=14

también podemos verlo de la siguiente forma:

25% de 56=(25/100)·56=0'25·56=14

éste es el tipo de cálculo que nos interesa para este curso; no sólo ver un porcentaje como una fracción si no también en su expresión decimal. Esta forma es más ventajosa para resolver problemas.

Se nos pueden plantear 3 tipos de preguntas:

• 3.1) Cálculo de un porcentaje directo, como hemos visto en el ejemplo anterior.
• 3.2) Cálculo del total, conociendo el porcentaje: 

Ejemplo 1:

En una clase de 3ESO, 8 alumnos llevan gafas, lo que representa el 40% de la clase. ¿Cuál es el total de alumnos de la clase?

40% del total = 8 => 40% de x=8 => (40/100)·x=8 =>0,4·x=8 => 

x=8/0,4=20 alumnos.

Es decir, hacemos la operación inversa al caso anterior.

También lo podemos ver, operando con fracciones como: x=8·100/40

• 3.3) Cálculo del porcentaje, conociendo el total y la parte:

Ejemplo 2:

Una familia tiene de ingresos mensuales 1245€ y gasta en la hipoteca de su vivienda 435€, ¿qué porcentaje del presupuesto mensual representa la hipoteca?

x% de 1245=435 => (x/100)·1245=435 => x=(435/1245)·100=34,94%

Es decir, en este caso, dividimos la parte por el total y multiplicamos por 100 para poder expresarlo como un porcentaje.

Así,   %=(PARTE/TOTAL)·100

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Los aumentos y disminuciones porcentuales se aplican en la vida real infinitas veces, impuestos, rebajas, operaciones comerciales, bancos, etc... Es fundamental que entendamos bien este concepto. Vamos a ello.

• 3.4) Aumentos porcentuales, cálculo del IVA.

Ejemplo 3:

La cuenta de un restaurante indica: 25€+10% de IVA

Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:

10% de 25=(10/100)·25=0,1·25=2,5€ de IVA

Así, el precio final, con el IVA incluído es :2,5+25=27,5€

En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:

Aumentar un 10% es sumar 10€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el 110% de la cantidad inicial. Así, 

110% de 25=(110/100)·25=1,10·25=27,5€

Es decir, para aumentar un x% una cantidad multiplicamos por (1+x/100)

Este procedimiento es más ventajoso, ya que con una sola operación obtenemos el cálculo y nos permite realizar el proceso inverso de una forma muy rápida y simple:

Ejemplo 4:

Sabiendo que unos pantalones valen 42€, con un IVA incluído del 21%, calcula el precio sin IVA.

En este caso: 1,21·x=42 => x=42/1,21=34,71€

• 3.5) Disminuciones porcentuales, rebajas.

 Un procedimiento análogo utilizamos para calcular rebajas.

Ejemplo5:

En un tienda de ropa vemos un cartel "TODO AL 25% DE DESCUENTO", ¿cuánto me costarán unos pantalones que valen 42€?

Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:

25% de 42=(25/100)·42=0,25·42=10,50€ derebaja

Así, el precio final, descontando la rebaja es : 42-10,50=31,50€

 

En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:

Disminuir un 25% es restar 25€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el (100-25)%=75% de la cantidad inicial. Así, 

75% de 42=(75/100)·42=0,75·42=31,50€

Es decir, para disminuir un x% una cantidad multiplicamos por (1- x/100)

Igual que en el caso de los aumentos, nos viene muy bien para realizar el cálculo inverso: 

Ejemplo 6:

¿Cuál era el precio inicial de una chaqueta que me ha costado 60€, sabiendo que lleva un 25% de descuento?

En este caso: 0,75·x=60 => x=60/0,75=80€

¡OJO! 

No confundir con aumentar un 25%, que no dará el mismo resultado:

60·1,25= 75

• 3.6) PORCENTAJES ENCADENADOS

Muy a menudo se aplican porcentajes encadenados a un determinado concepto. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7:

En septiembre el precio de la gasolina era de 1,409€/l, en octubre experimentó una subida del 3%, en noviembre otra subida del 5%, en diciembre bajó ligeramente un 2% y en enero volvió a subir un 7%. ¿Cuál es el precio final de la gasolina?¿Qué variación porcentual ha experimentado al final de estos cuatro meses?

Vamos a plicar sucesivamente los incrementos y disminuciones porcentuales:

1,409·1,03·1,05·0,98·1,07=1,598€/l

El porcentaje final lo podemos determinar de dos formas:

1.- Multiplicando todas las variaciones:

1,03·1,05·0,98·1,07=1,1340609

Así obtenemos que: 1,1340609-1=0,1340609

Para pasarlo a %: 0,1340609·100=13,40609

Aproximando, diremos que la gasolina ha subido un 13,4% en ese período de tiempo

2.- Calculando el cociente entre la cantidad final y la inicial:

Variación %= C.Final/C.Inicial

En este caso: 1,598/1,409=1,134

Con el mismo procedimiento que en el caso anterior, llegamos a la conclusión de que la gasolina ha subido un 13,4%

• 3.7) INTERÉS SIMPLE:

Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese período?

1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses

En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses

Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€

Fórmula del interés simple:

• 3.8) INTERÉS COMPUESTO:

En el interés compuesto los intereses se suman al capital para generar nuevos intereses, este caso es más ventajoso para el cliente, pero no puede disponer del dinero hasta el vencimiento.

Ejemplo:

Ingreso 6000€ a 2% de interés compuesto anual durante 4 años.

1º año 6000+2% de 6000€= 6000·1,02=6120€

2º año 6120+2% de 6120€ =6120·1,02=6000·1,02·1,02=6000·1,02²=6242,40€

3º año 6242,40+2% de 6242,40 = …= 6000·1,02³=6367,25€

4ª año … 6000·1,02⁴= 6494,59€

De este análisis obtenemos la siguiente expresión:

Fórmula: Cf=Ci·(1+%/100)^t

Cf= Capital final

Ci= Capital inicial

t= tiempo en años

Aquí os pongo las pizarras del año pasado, al final del tema aparecen apuntes y ejercicios resueltos de porcentajes.