· Un número natural … x , n , a
· El siguiente de ese número: n+1
· El anterior: … n-1
· El doble de un número más cinco unidades: 2x+5
· El doble del resultado de sumar cinco unidades a un número: 2·(x+5)
· La mitad de un número: x/2
· La tercera parte del resultado de sumar tres unidades al doble de un número: (2x+3)/3
Expresiones algebraicas. Tipos:
· Identidad: Igualdad algebraica que se cumple siempre. Ejemplo:
a+b=b+a (Propiedad conmutativa de la suma)
a+(b+c)=(a+b)+c (Propiedad asociativa)
a·(b+c)=a·b+a·c (Propiedad distributiva)
2·(x+1)=2x+2
· Ecuación: Igualdad algebraica, que sólo se cumple para algunos valores de las letras, que son las soluciones de la ecuación. Ejemplo:
2x=6, solución x=3
X2-1=3, soluciones: x=2, x=-2
· Monomios: Expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:
3x ; 3x2 ; 3x3y2z ; (1/2)a·b
· Polinomios: Varios monomios.
3x+1 ; 2x2-5x+3 ; 5x3-7x2+6x-3
Monomios.
Coeficiente: El número que multiplica.
Parte literal: La parte de las letras.
Grado: La suma de los exponentes de la parte literal.
· Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.
Si suponemos que x=2, y=3, z=1
OPERACIONES CON MONOMIOS
Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.
Ejemplos:
· 33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes
· 2x2 y 2x no son semejantes
· 3x2y , 5xy2 no.
· 3x2y , -7yx2 sí.
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:
Ejemplos:
· 3x+5x-7x+9x= 10x
· 5x2-9x2+6x2-3x2= -1x2 = -x2
· 4x3-2x+6x3+7x= 10x3+5x
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:
Ejemplos:
· 2x·5x2= 10x3
· 3x2y3·(-5)xy2= -15x3y5
· 2xy3·(-1/4)x2y5z2=(-2/4)x3y8z2
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Tampoco hace falta que sean semejantes. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:
(4x3) : (2x2) = 2x
Puedes ver otros apuntes sobre esto haciendo clic aquí.
POLINOMIOS. OPERACIONES.
Puedes ver las operaciones con polinomios aquí.
Veamos algunos ejemplos:
(x+1)2=(x+1)·(x+1)= x2+2x+1
(2x+3)2=(2x+3)·(2x+3)= 4x2+12x+9
(x-1)2=(x-1)·(x-1)= x2-2x+1
(2x-3)2=(2x-3)·(2x-3)= 4x2-12x+9
(x+1)·(x-1)= x2-1
(2x+3)·(2x-3)= 4x2-9
Así, obtenemos las siguientes identidades:
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más
el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a-b)2= a2-2·a·b+b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero
menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a+b)·(a-b)= a2-b2
Suma por diferencia, diferencia de cuadrados.
Puedes practicar los productos notables aquí.
SACAR FACTOR COMÚN:
Hemos de buscar los factores que se repiten en cada uno de los términos
del polinomio, de modo que al realizar el producto resultante nos vuelva a
salir el polinomio inicial.
Veamos algunos ejemplos de cómo se saca factor común:
·
2x+4x2-6x3+8=2·(x+2x2-3x3+4)
·
6x2+12x3-15x4+3x=3x·(2x+4x2-5x3+1)
·
2x3-12x2+18x=2x·(x2-6x+9)
·
4x2+16x3-8x5-12x6=4x2·(1+4x-2x3-3x4)
·
5xy+10x2y-15xy2+60x3y2=5xy·(1+2x-3y+12x2y)