4ESO. RESUMEN TEMAS 1 Y 2

Aquí os pongo los contenidos que hemos trabajao en las unidades 1 y 2 y que debéis repasar:

TEMA1

Números naturales y enteros

-  Operaciones. Reglas.
-  Manejo diestro en las operaciones con números enteros.
-  Valor absoluto.

 Números racionales

-  Operaciones con fracciones:
   -  Simplificación.
   -  Equivalencia. Comparación.
   -  Suma.
   -  Producto.
   -  Cociente.

-  La fracción como operador. Resolución de problemas con fracciones.

 Potenciación

-  Potencias de exponente entero. Operaciones. Propiedades.


TEMA2

Números decimales y fracciones. Relación
-  Paso de fracción a decimal.
-  Paso de decimal exacto a fracción.
-  Paso de decimal periódico a fracción.
   -  Periódico puro.
  -  Periódico mixto.
 

Expresión decimal de los números aproximados

- Redondeo de números.
   -  Error absoluto.
   -  Error relativo.

-  Asignación de un número de cifras acorde con la precisión de los cálculos y con lo que esté expresando.

-  Cálculo de una cota del error absoluto y del error relativo cometidos cuando no se conoce el valor real.

La notación científica

-  Lectura y escritura de números en notación científica.
-  Relación entre error relativo y el número de cifras significativas utilizadas.
-  Manejo de la calculadora para la notación científica.

3ESO. T4. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Aquí os pongo el listado de problemas de la unidad

Veamos los diferentes tipos de problemas que vamos a resolver en esta unidad:

1.- PROPORCIONALIDAD

Aquí os pongo el enlace a la entrada de 2ESO en la que se explican los problemas de proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

2.- REPARTOS PORPORCIONALES:

Ejemplo: Carles, Vanessa y Sergio juegan a la quiniela. Carles pone 1€, Sergio 2€ y Vanessa 3€. Les toca el pleno al 15, que son 614.412€. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Carles              1€   1/6 de 614.412= 102.402€

Vanessa           3€   3/6 de 614.412=  307.206€ 

Sergio              2€   2/6 de 614.412=  204.804€

Total apuesta:   6€                    Total: 614.412€

3.- PORCENTAJES:

Recordemos cómo se calculaban los porcentajes con el siguiente ejemplo:

25% de 56=(25/100)·56=25·56/100=14

también podemos verlo de la siguiente forma:

25% de 56=(25/100)·56=0'25·56=14

éste es el tipo de cálculo que nos interesa para este curso; no sólo ver un porcentaje como una fracción si no también en su expresión decimal. Esta forma es más ventajosa para resolver problemas.

Se nos pueden plantear 3 tipos de preguntas:

• 3.1) Cálculo de un porcentaje directo, como hemos visto en el ejemplo anterior.
• 3.2) Cálculo del total, conociendo el porcentaje: 

Ejemplo 1:

En una clase de 3ESO, 8 alumnos llevan gafas, lo que representa el 40% de la clase. ¿Cuál es el total de alumnos de la clase?

40% del total = 8 => 40% de x=8 => (40/100)·x=8 =>0,4·x=8 => 

x=8/0,4=20 alumnos.

Es decir, hacemos la operación inversa al caso anterior.

También lo podemos ver, operando con fracciones como: x=8·100/40

• 3.3) Cálculo del porcentaje, conociendo el total y la parte:

Ejemplo 2:

Una familia tiene de ingresos mensuales 1245€ y gasta en la hipoteca de su vivienda 435€, ¿qué porcentaje del presupuesto mensual representa la hipoteca?

x% de 1245=435 => (x/100)·1245=435 => x=(435/1245)·100=34,94%

Es decir, en este caso, dividimos la parte por el total y multiplicamos por 100 para poder expresarlo como un porcentaje.

Así,   %=(PARTE/TOTAL)·100

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Los aumentos y disminuciones porcentuales se aplican en la vida real infinitas veces, impuestos, rebajas, operaciones comerciales, bancos, etc... Es fundamental que entendamos bien este concepto. Vamos a ello.

• 3.4) Aumentos porcentuales, cálculo del IVA.

Ejemplo 3:

La cuenta de un restaurante indica: 25€+10% de IVA

Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:

10% de 25=(10/100)·25=0,1·25=2,5€ de IVA

Así, el precio final, con el IVA incluído es :2,5+25=27,5€

En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:

Aumentar un 10% es sumar 10€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el 110% de la cantidad inicial. Así, 

110% de 25=(110/100)·25=1,10·25=27,5€

Es decir, para aumentar un x% una cantidad multiplicamos por (1+x/100)

Este procedimiento es más ventajoso, ya que con una sola operación obtenemos el cálculo y nos permite realizar el proceso inverso de una forma muy rápida y simple:

Ejemplo 4:

Sabiendo que unos pantalones valen 42€, con un IVA incluído del 21%, calcula el precio sin IVA.

En este caso: 1,21·x=42 => x=42/1,21=34,71€

• 3.5) Disminuciones porcentuales, rebajas.

 Un procedimiento análogo utilizamos para calcular rebajas.

Ejemplo5:

En un tienda de ropa vemos un cartel "TODO AL 25% DE DESCUENTO", ¿cuánto me costarán unos pantalones que valen 42€?

Normalmente calculamos esto de la siguiente forma:

25% de 42=(25/100)·42=0,25·42=10,50€ derebaja

Así, el precio final, descontando la rebaja es : 42-10,50=31,50€

 

En este curso lo trabajaremos de una forma diferente:

Disminuir un 25% es restar 25€ a cada 100€, por lo tanto, es calcular el (100-25)%=75% de la cantidad inicial. Así, 

75% de 42=(75/100)·42=0,75·42=31,50€

Es decir, para disminuir un x% una cantidad multiplicamos por (1- x/100)

Igual que en el caso de los aumentos, nos viene muy bien para realizar el cálculo inverso: 

Ejemplo 6:

¿Cuál era el precio inicial de una chaqueta que me ha costado 60€, sabiendo que lleva un 25% de descuento?

En este caso: 0,75·x=60 => x=60/0,75=80€

¡OJO! 

No confundir con aumentar un 25%, que no dará el mismo resultado:

60·1,25= 75

• 3.6) PORCENTAJES ENCADENADOS

Muy a menudo se aplican porcentajes encadenados a un determinado concepto. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7:

En septiembre el precio de la gasolina era de 1,409€/l, en octubre experimentó una subida del 3%, en noviembre otra subida del 5%, en diciembre bajó ligeramente un 2% y en enero volvió a subir un 7%. ¿Cuál es el precio final de la gasolina?¿Qué variación porcentual ha experimentado al final de estos cuatro meses?

Vamos a plicar sucesivamente los incrementos y disminuciones porcentuales:

1,409·1,03·1,05·0,98·1,07=1,598€/l

El porcentaje final lo podemos determinar de dos formas:

1.- Multiplicando todas las variaciones:

1,03·1,05·0,98·1,07=1,1340609

Así obtenemos que: 1,1340609-1=0,1340609

Para pasarlo a %: 0,1340609·100=13,40609

Aproximando, diremos que la gasolina ha subido un 13,4% en ese período de tiempo

2.- Calculando el cociente entre la cantidad final y la inicial:

Variación %= C.Final/C.Inicial

En este caso: 1,598/1,409=1,134

Con el mismo procedimiento que en el caso anterior, llegamos a la conclusión de que la gasolina ha subido un 13,4%

• 3.7) INTERÉS SIMPLE:

Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese período?

1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses

En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses

Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€

Fórmula del interés simple:

• 3.8) INTERÉS COMPUESTO:

En el interés compuesto los intereses se suman al capital para generar nuevos intereses, este caso es más ventajoso para el cliente, pero no puede disponer del dinero hasta el vencimiento.

Ejemplo:

Ingreso 6000€ a 2% de interés compuesto anual durante 4 años.

1º año 6000+2% de 6000€= 6000·1,02=6120€

2º año 6120+2% de 6120€ =6120·1,02=6000·1,02·1,02=6000·1,02²=6242,40€

3º año 6242,40+2% de 6242,40 = …= 6000·1,02³=6367,25€

4ª año … 6000·1,02⁴= 6494,59€

De este análisis obtenemos la siguiente expresión:

Fórmula: Cf=Ci·(1+%/100)^t

Cf= Capital final

Ci= Capital inicial

t= tiempo en años

Aquí os pongo las pizarras del año pasado, al final del tema aparecen apuntes y ejercicios resueltos de porcentajes.

2ESO. TEMA 2.1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Y SEXAGESIMAL

 TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES:

•  Decimales exactos: que tienen un número finito de cifras decimales.

        Ejemplo: 2,5 ; 7,356 ; 0,23658 ; etc…

• Decimales periódicos puros: sus cifras decimales se repiten infinitamente. Ejemplo: 1,3333333…=  ; 2,2727272727…

 

• Decimales periódicos mixtos: tienen una parte periódica y otra no periódica. 

       Ejemplo: 1,233333333… ; 2,27777777… ; 3,56325325325325…..

 

•  Números irracionales: con infinitas cifras decimales no periódicas.

 

Si quieres practicar cómo se leen y escriben los números decimales, haz clic aquí. 

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Recordemos cómo se redondean los números. Redondeo a las centésimas:

Combustible: 75,159€ = 75,16€

                        75,153€=75,15€

3 Amigos van de cena, la cena vale 29,62€

29,62:3=9,8733333333€=9,87€

Puedes repasar el redondeo de números decimales haciendo clic aquí.

OPERACIONES CON DECIMALES

Podéis hacer las actividades de la 4 a la 8 para repasar las operaciones con números decimales. Haz clic aquí.

RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS DECIMALES

Si son exactas, podemos calcularlas tanteando, recordando la lista de los cuadrados perfectos:

Si observas bien, me pueden dar exactas aquellas raíces que tengan un número par de cifras decimales, y el resultado tendrá la mitad de cifras decimales.

Si no dan exactas, debemos recordar el procedimiento de cálculo de la raíz cuadrada a mano que ya trabajamos el curso pasado.

Aquí os pongo una actividad que explica y practica cómo hacer la raíz cuadrada a mano.


¡OJO! LA PARTE QUE VIENE A CONTINUACIÓN NO ENTRA PARA ESTE CURSO:

SISTEMA SEXAGESIMAL

Se utiliza para medir ángulos y tiempo

Tiempo: horas, minutos, segundos.

1h=60min=60·60=3600s

1min = 60s

Ángulos: grados, minutos y segundos

1º=60’=60·60=3600’’

1’=60’’

Recordamos cómo se expresan los datos y cómo pasamos de forma compleja a incompleja:

Forma compleja	Forma incompleja(s)	Forma incompleja(min)
1h 35min 23s	1·60·60+35·60+23=5723s	1·60+35+23:60=95’383min
45º27’35’’	45·60·60+27·60+35=163655’’	45·60+27+35:60=2727,58’

 

¡OJO!

1,5h= 1h 30min, no confundir con 1h 50min

1,5·60=90min=1h30min

0,5·60=30min, entonces es 1h 30min

Así:

0,5h=30min

0,25h=15min

0,75h=45min

0,2h=12min

1/3h=20min

Aquí tenéis una ctividad para practicar esto.

OPERACIONES EN SISTEMA SEXAGESIMAL

Hemos repasado en clase cómo sumar, restar y multiplicar en sistema sexagesimal, mira los ejemplos de los apuntes. También los detallamos aquí:

En el caso de la suma, tal y como vemos en el ejemplo, si el resultado de la suma en los minutos o segundos es mayor que 60, lo restamos y añadimos una unidad al orden siguiente.




En el caso de la resta, si alguna cantidad del minuendo es menor que la del sustraendo, restamos una unidad al orden de unidades superior y sumamos 60 al anterior para poder realizar la resta

  En la multiplicación seguimos el mismo criterio que con la suma.








La división es un poco más compleja, veamos un ejemplo:

AQUÍ PUEDES DESCARGAR LOS APUNTES ACTUALIZADOS Y EL DEBER

4ESOA. TEMA 1. NÚMEROS RACIONALES

Aquí os pondré los apuntes y ejercicios resueltos que vamos haciendo.

También un listado provisional de los ejercicios del tema 1, estad atentos a las actualizaciones del documento, porque iré añadiendo más actividades. 

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Aquí os pongo un enlace para ver las propiedades de las potencias de números enteros, también tiene ejercicios. 

También para ver ejemplos de dichas propiedades con números racionales haz clic aquí.

RECORDAD QUE TENÉIS QUE REPASAR:

• Operaciones combinada con números enteros
• Operaciones combinadas con fracciones
• Simplificación de potencias
• Problemas con fracciones

2ESO. T1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

LISTADO COMPLETO DE EJERCICIOS DEL TEMA 1
  
AQUÍ OS PONDRÉ LOS APUNTES DEL TEMA ACTUALIZADOS  Y EL DEBER 
  
Podéis consultar las definiciones básicas de divisibilidad en la entrada correspondiente de 1º de ESO. Haz clic aquí para verla.

Recordemos los criterios de divisibilidad que hemos trabajado en clase:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

• Por 2: Un número es divisible por 2 cuando es par, es decir, cuando acaba en 0, 2, 4, 6 y 8.
• Por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 

                                     Ejemplo: 36; 3+6=9, sí.

• Por 5: Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 ó 5.
• Por 9: Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. 

      Ejemplo: 36; 3+6=9, sí. 12; 1+2=3, es múltiplo de 3, pero no de 9.

• Por 10: Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0.

Podemos repasar los criterios de divisibilidad haciendo clic aquí.
 

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS:

Un número primo es aquel que sólo es divisible por 1 y por sí mismo.

Ejemplo: 71; 11; 13; 3; 17; …

Un número compuesto tiene más de dos divisores.

Ejemplo: 4; 6; 8; 10; 12….

Hemos realizado en clase la CRIBA DE ERATÓSTENES, para averiguar los números primos menores que 100. Está en los apuntes.

También podemos realizar la criba de forma interactiva en los recursos digitales de ANAYA. Haz clic aquí.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS:

Aquí os pongo una actividad para reforzar la descomposición factorial. 

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS:

12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96…

18;         36;       54 ;    72  …

El m.c.m es 36.

El procedimiento habitual será:

• Se descompone el número en factores primos
• Tomaremos de los factores repetidos, el de mayor exponente. Y además los no repetidos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS
El procedimiento habitual será:

• Se descompone el número en factores primos
• Tomaremos de los factores repetidos, el de menor exponente.

Mirando el ejemplo: MCD(12, 18)=2·3=6

Puedes practicar el cálculo del MCD y mcm haciendo clic aquí

NÚMEROS ENTEROS

Hemos definido en clase el conjunto de los números enteros y repasado cómo se suman y restan:

• Si tienen el mismo signo, se suman y se pone el signo que tienen

                             +3+5=+8;  -5-6=-11

• Si tienen diferente signo, se restan y se pone el signo del mayor.

                              +5-3=+2;  -8+5=-3

Si quieres hacer una actividad de refuerzo se sumas y restas de números enteros haz clic aquí .

 

MULTIPLICACIÓN EN Z:

Regla de los signos: 
      + · + = +

      - · + = -

      + · - = -

      - · - = +

Prioridad de las operaciones:

1.    Paréntesis y corchetes

2.    Potencias y raíces

3.    Multiplicación y división

4.    Suma y resta

Aquí os pongo un sencillo vídeo que explica ejemplos de operaciones combinadas con números enteros: 

Aquí os pongo el enlace para realizar dos actividades interactivas en internet para practicar la multiplicación de números enteros y operaciones combinadas:

• Multiplicación de números enteros, actividad 8.
• Operaciones combinadas, actividad 9. 

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

Ya trabajamos el curso pasado las potencias de números naturales

Recordamos que:

2²=2·2

2⁵=2·2·2·2·2=32

En el caso de números negativos, veamos lo que ocurre:

(-2)²=(-2)·(-2)=+4

(-2)³=(-2)·(-2)·(-2)=-8

(-2)⁴=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+16

(-2)⁵=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=-32

Así vemos que para calcular la potencia de un número negativo

·         Si el exponente es par, el resultado es positivo

·         Si el exponente es impar, el resultado es negativo

¡OJO! No perdamos de vista esta observación:

-2²=-2·2=-4

-2³=-2·2·2=-8

Si el signo (–) no está dentro del paréntesis, el resultado de la potencia es siempre negativo

Veamos cuáles son las PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS:
 

1.- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ              

      Ejemplo: (2·3)²=2²·3²

      La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.

2.- (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ              

      Ejemplo: (2:3)²=2²:3²

      La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.

3.- aⁿ·a^m=a^n+m                

      Ejemplo: 2²·2³=2²⁺³=2⁵

      Producto de potencias de la misma base, se suman los exponentes

4.- aⁿ:a^m=a^n-m                                

      Ejemplo: 2⁵:2³=2^5-3=2²

      Cociente de potencias de la misma base, se restan los exponentes

5.- (aⁿ)^m= a^n·m                                 

     Ejemplo: (2⁵)²=2^5·2=2¹⁰

      Potencia de potencia, se multiplican los exponentes

!Ojo, esta sección está en obras!

RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS ENTEROS.

Sabemos que:   

Pero hay otro número entero que también es solución de esta raíz, ya que

Por lo tanto, una raíz cuadrada tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa.

Si intentamos hacer la raíz cuadrada de un número negativo vemos que no tiene solución ya que:  es decir, no encontramos ningún número tal que al elevarlo al cuadrado nos dé como resultado -4.

En cambio, veamos qué sucede con una raíz cúbica:

La raíz cúbica de un número negativo sí que existe porque las potencias de exponente impar de números negativos dan como resultado un número negativo. Así podemos concluir que:

·      Las raíces de índice par (cuadradas, cuartas, sextas, etc…) de números negativos no se pueden calcular.

·      Las raíces de índice impar (cúbicas, quintas,  etc…) de números negativos sí se pueden calcular.

3ESO. T1. OPERACIONES CON FRACCIONES

PUEDES DESCARGAR AQUÍ EL LISTADO DE EJERCICIOS DEL TEMA

AQUÍ OS PONDRÉ LOS EJERCICIOS RESUELTOS QUE VAMOS HACIENDO EN CLASE

Aquí os pondré las pizarras de cursos anteriores, con muchos ejercicios resueltos.





Iniciamos la unidad 1 recordando las operaciones básicas con números enteros.

Recordad la regla de los signos:N
+ · + =
+ · - = -
 - · + = -
- · - = +

También los diferentes criterios para sumar números enteros:

• Si tienen el mismo signo, se suman y se pone el signo que tienen

                             +3+5=+8;  -5-6=-11

• Si tienen diferente signo, se restan y se pone el signo del mayor.

                              +5-3=+2;  -8+5=-3

Recordemos también la prioridad de las operaciones, que es muy importante:

1- Paréntesis y corchetes

2- Potencias y raíces

3- Multiplicación y división

4- Sumas y restas

Además, aparte de recordar las propiedades de las potencias, que ya las revisaremos. Remarco una propiedad importante de las potencias de números enteros:

Es decir, que cuando el signo menos está dentro del paréntesis,
- si el exponente es par, el resultado es positivo.
- Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
- Si el signo - no está dentro del paréntesis, el resultado de la potencia será siempre negativo.

Para empezar la unidad, podéis entrar en www.anayadigital.com y pinchar en las actividades de repaso para hacer on-line. Probadlo.

Aquí puedes ver las pizarras de cursos anteriores con operaciones con números enteros.

Para ver actividades interactivas del tema 1 pincha aquí.

Podéis haces las actividades 2 y 3 para repasar las operaciones con números enteros.

Para repasar las operaciones con fracciones, podéis hacer las actividades de la 4 a la 8 del mismo enlace.

OPERACIONES CON FRACCIONES:

Hemos recordado en clase cómo se operaba con fracciones, aquí os pongo un enlace donde se repasan los conceptos básicos de suma, resta, multiplicación y división y operaciones combinadas. También tiene ejercicios.

Aquí os pongo otro enlace con apuntes muy completos y ejercicios de repaso.

PROBLEMAS CON FRACCIONES:

Se nos pueden plantear 3 tipos de preguntas básicas:

1.-  Calcular la fracción de un número:

De 24 alumnos, 2/3 van a la excursión: 2/3 de 24 =24·2/3=16

2.- Calcular el total, conociendo la fracción y la parte:

Van a la excursión 20 alumnos, que son 4/5 del total. ¿Cuántos son el total de la clase?

   4/5 del total = 20; 

   4/5 de x =20; 

   x=20·5/4 = 25 alumnos en total

3.- Calcular la fracción, conociendo el total y la parte:

De 80 alumnos de la ESO, van  la excursión, 75. ¿Qué fracción representa del total?

Fracción=75/80=15/16

Puedes repasar los problemas que hemos hecho en los apuntes de clase.

Aquí os pongo el enlace anterior con apuntes muy completos y ejercicios de repaso. En el punto 3.15: Problemas resueltos con fracciones, tenéis un amplio listado de problemas resueltos a partir de la página 27 del archivo, ó 147 del pdf.  

PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN:

Veamos los ejemplos trabajados en clase para cada tipo de decimal:

• Escribimos en el numerador el número sin coma.
• En el denominador ponemos un 1 seguido  de tantos ceros como cifras decimales hay.
• Simplificamos la fracción.

• Llamamos N al número.
• Multiplicamos ambas partes de la igualdad por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo.
• Restamos las dos expresiones, así, toda la parte decimal desaparece.
• Despejamos la N
• Simplificamos.

• Llamamos N al número.
• Multiplicamos ambas partes de la igualdad por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales hay.
• Multiplicamos de nuevo ambas partes de la igualdad por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas hay.
• Restamos las dos últimas expresiones, así, toda la parte decimal desaparece.
• Despejamos la N
• Simplificamos.

Aquí os pongo un vídeo donde está explicado igual que en clase:




Para repasar el paso de decimal a fracción, puedes realizar las actividades 9 y 10.

Puedes ver este enlace de vitutor, está explicado de forma diferente a la vista en clase pero tiene ejercicios de repaso.

Que aproveche....