Recordemos las diferentes formas de ecuaciones de la recta.
1.- Funciones de proporcionalidad directa y=mx,
donde m es la pendiente de la recta. Todas tienen en común que pasan por el (0,0). Aquí tenemos algunos ejemplos, intenta identificarlas en la Imagen1:
y=x ; y=2x ; y=3x ; y=(4/3)x ; y=(-1/4)x ; y=-5x
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| Imagen 1 |
Fijáos cómo en el caso de y=(4/3)x, la pendiente se calcula obteniendo el cociente entre en incremento de la variable Y y el incremento de la variable X,
es decir:
En este caso, m= 4/3 = (sube 4)/(avanza 3)
Recordemos que cuando la recta es decreciente, es decir, cuando baja, la pendiente es negativa.
Intenta localizar en la imagen1 la recta y=-5x.
2.- Muy sencillas son las funciones constantes, del tipo y=n.
Veamos los siguientes ejemplos:
y=2 ; y=4 ; y=-1 ; y=-3
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| Imagen2 |
Éstas funciones se representan con rectas horizontales que pasan por el valor que indica la n, recordad que su pendiente es m=0
Ejercicio 1: Observa estas rectas, indica su pendiente y escribe su ecuación:
3.- Función afín, del tipo y=mx+n, donde:
m = pendiente
n = ordenada en el orígen (es decir, el punto de corte de la recta con el eje Y)
Veamos algunos ejemplos:
y=2x+1 ; y=-3x+2 ; y=(3/4)x-1 ; y=(-5/3)x-3
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| Imagen 3 |
Observa en la imagen cómo en y=(3/4)x-1 (la recta de color rosa) vemos cómo la recta corta el eje Y en y=-1 y avanza 4, sube 3, es decir, su pendiente es m=3/4.
Intenta relacionar las otras rectas con sus ecuaciones.
Ejercicio 2: Aquí tenemos otras funciones para determinar pendiente, ordenade en el origen y ecuación. Los puntos marcados te pueden servir de mucha ayuda
4.- Ecuación Punto-Pendiente:
Dados un punto P,
y una pendiente m, la ecuación Punto-Pendiente es:
Veamos un ejemplo: escribe la ecuación de la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene por pendiente m=3
y=1+3(x-2), operamos
y=1+3x-6
y=3x-5
Ejemplo2: Calcula la ecuación de la recta que es paralela a y=5x-2 y pasa por el punto Q(-3,4).
Como son paralelas, la pendiente que busco es m=5, entoces,
y=4+5(x-(-3))
y=4+5(x+3)
y=4+5x+15
y=5x+19
Ejercicio 5.- Escribe la ecuación de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las pendientes indicadas:
a) P(-2, 5); m=3
b) Q(0, -5); m=-2
c) R(0, 0); m=3/2
d) S(-2, -4); m=-2/3
e) T(-1, 5) y es paralela a y=5-2x
f) U(2, 5) y es paralela al eje X
5.- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Dados dos puntos, P y Q, obtendremos la ecuación de la recta que pasa por ellos calculando la pendiente con la siguiente fórmula:
Después, con la pendiente y uno de los puntos, aplicamos la ecuación punto-pendiente del apartado 4.
6.- Ecuación general de la recta:
Obtendremos la ecuación general de la recta operando en las expresiones anteriores y nos queda:
ax+by=c
Expresión a la que encontramos una relación directa con los sistemas de ecuaciones, que también podremos resolver de forma gráfica hallando el punto de corte de las dos rectas.
Tenemos algunas ejemplos prácticos en las actividades de repaso propuestas al final de éste artículo:
Para 4º de ESO. Funciones definidas a trozos
Para las funciones definidas a trozos, debemos tener en cuenta que hay que representar cada función en su intervalo correspondiente. Vemos algunos ejemplos:
Vemos con este ejemplo que dividimos el plano en dos trozos (separados por la recta vertical punteada x=2):
- Uno para valores de x menores o iguales que 2
- Otro para valores mayores que 2.
El el primer tramo, la función a representar es y=-1, no tenemos más que representar una recta horizontal que pasa por y=-1 y que llega hasta el punto A(2,-1)
En el segundo tramo, la función a representar es y=-2x+7, soló tenemos que calcular los puntos C y D sustituyendo en la ecuación de la recta y unirlos. Es importante empezar en el extremo del intervalo, es decir en x=2, para saber dónde empieza la recta:
- Para x=2 , y =-2·2+7 = 3, C(2, 3)
- Para x=3, y =-2·3+7 = 1, D(3, 1)
Dado que el segundo tramo indica y=-2x+7, x > 2, la función no está definida en x=2 en éste, por eso el punto C lo representamos con un circulito.
Observamos que esta función no es continua.
ENLACES INTERESANTES Y ACTIVIDADES DE REPASO:
- 2ESO: Aquí os pongo los apuntes de clase actualizados
- 3ESO: Aquí os pongo los ejercicios del tema. Aquí os pondré algunos ejercicios que hemos resuelto en clase
- 4ESO: Listado de ejercicios del tema. En el siguiente enlace os pongo los problemas resueltos.
- Podéis consultar los recursos digitales siguientes e ir viendo todas las actividades de las unidades 7 y 8 para repasar.
- Aquí os pongo el enlace para ver una actividad interactiva sobre el tema, está bastante bien explicado. Junta de Extremadura.
- Otro enlace interactivo, tiene menos ejercicios, pero resuelve más problemas prácticos.Aquí podéis repasar las dos unidades, la de conceptos generales de función y la de funciones lineales.
- Podéis descargar e instalar el programa GEOGEBRA, tenéis el enlace en la barra de enlaces a la derecha del blog. Gratuito.
- También se puede descargar el programa con el que hemos trabajado en clase FUNCIONES PARA WINDOWS, se descarga e instala en un minuto y es gratis.
También se puede abreviar con la expresión del sumatorio:
