3ESO. T 3. SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.

AQUÍ OS PONGO LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Veamos algunos ejemplos:

3, 7, 11, 15, 19, 23, …         Empieza en 3 y sumar 4

1, 5, 9, 13, 17, …                 Empieza en 1 y sumar 4

2, 4, 8, 16, 32, 64, …           Empieza en 2 y multiplica por 2  

1, -3, 9, -27, 81, -243, …     Empieza en 1 y multiplica por (-3)

170, 120, 70, 20, -30, -80, … Empieza en 170 y restar 50

Son sucesiones numéricas, es decir: un conjunto ordenado de números que siguen una regla o norma matemática. A cada uno de esos números los llamamos términos de la sucesión y se escriben:

a_1, a₂, a₃, …, a_n

Llamaremos término general a la expresión algebraica que me define la sucesión. Y lo escribimos como a_n.

Ejemplo: a_n=4n-3

a₁=4·1-3=1    ;           a₂=4·2-3=5    ;           a₃=4·3-3=9

-  Forma recurrente: definimos los términos de la sucesión a partir una relación de los términos anteriores.

Ejemplo famoso:

a₁=1; a₂=1 ; a_n=a_n-1+a_n-2

a₃=a₂+a₁=1+1=2

a₄=a₃+a₂=2+1=3

Sale la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Es la sucesión de Fibonacci.

Aquí os pongo un interesante vídeo de la serie MásXMenos de RTVE sobre la serie de Fibonacci:






Aquí tenés otro espectacular vídeo sobre cómo aparece la serie de Fibonacci en la naturaleza:




SUCESIONES ARITMÉTICAS:

Vamos algunos ejemplos:

3, 5, 7, 9, 11, 13, …                   Empieza en 3 y suma 2                

25, 28, 31, 34, 37, …                 Empieza en 25 y suma 3

125, 119, 113, 107, 101, …        Empieza en 125 y resta 6

Estas sucesiones son ARITMÉTICAS, es decir, empiezan en un primer término y se suma una cantidad fija para obtener los siguientes. A esta cantidad la llamaremos DIFERENCIA (d), ya que si restamos dos términos consecutivos cualesquiera nos da siempre este resultado:
5-3=2
7-5=2
9-7=2
...

Vamos a fijarnos en el primer ejemplo:
a1=3
a2=3+2            =3+2·1=5
a3=3+2+2        =3+2·2=7
a4=3+2+2+2    =3+2·3=9
a5=3+2+2+2+2=3+2·4=11 
...
Podemos observar que para obtener un término cualquiera de la sucesión sumamos al primer término la diferencia multiplicada por una unidad menos del orden de dicho término, es decir:

an=3+2·(n-1)

Así, deducimos la expresión para el término general de cualquier sucesión aritmética es: 

Término general:  an=a1+d·(n-1)


Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética: Sn = (a1+an)·n/2


Veamos un ejemplo sencillo:

Sumar todos los números del 1 al 100:

1+2+3+4+5+6+…+98+99+100

Observamos que:

1+100=101

2+99=101

3+98=101

Así la suma de los 100 primeros números se puede calcular como: 

S₁₀₀=101·50=5050=(1+100)·100/2

SUCESIONES GEOMÉTRICAS:

Término general:  

Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica:

 Puedes ver un ejemplo resuelto en los apuntes de clase.

Suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica cuya razón cumpla que 0<r<1: 

Aquí tenéis una página donde también está explicado, podéis ver los puntos del 5 al 8 y los propuestos.

También os pongo ejercicios de repaso por si tenéis ganas de hacer más. Si quieres verlos, haz clic aquí.

En los ejercicios de repaso que puse para el verano también hay bastantes ejercicios y un resumen de las fórmulas.

Aquí os pongo ejercicios interactivos de repaso.

Aquí os pondré las pizarras del curso pasado con ejercicios resueltos.

Que aproveche...