4ESOA. TEMA 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS. FACTORIZACIÓN

Aquí os pongo el enlace a los apuntes del tema de vitutor, con actividades de repaso. Algunos contenidos sobrepasan nuestros objetivos, pero viene bien para practicar.

Aquí tenéis actividades de repaso de factorización de polinomios.

1ESO. TEMA 7-8. FRACCIONES

Aquí podéis descargar los ejercicios del tema

Aquí podréis descargar los apuntes del tema con los últimos ejercicios (37 y 38)

1ESO. TEMA 5. NÚMEROS DECIMALES

Aquí os pongo los ejercicios del tema

También los tenéis en vuestro correo del colegio.

Órdenes de unidades decimales. 

Veamos la equivalencia de las unidades decimales:

C	D	U,	d	c	m	dm	cm	mm
		2,	3	5
	2	7,	0	0	3
		3	0	0	0	0
		0,	0	3	2	0	0	0
		2	5	4	0	0	0

Ejemplo 1:

2,35= dos unidades, treinta y cinco centésimas

27,003= veintisiete unidades y tres milésimas

3U=    300c =30.000 dm

32m= 0,032U= 32.000mm

254c= 2,54U = 2.540m = 254.000cm

Relación de orden en los números decimales:

Ejemplo 2: Ordena de menor a mayor.

6,83  ;  6,49 ; 6,08 ; 6,495 ; -6,923

-6,923<6,08<6,49<6,495<6,83

Entre dos números decimales hay infinitos números decimales.

Ejemplo 3: Inserta un número entre los dos siguientes.

5,3< 5,35 <5,4

-2,08< -2,075  <-2,07

-1< -0,3 <0

3,92< 3,921 <3,923

-7,995< -7,993 <-7,99

1ESO. TEMA 4. NÚMEROS ENTEROS

Aquí tienes los ejercicios de la unidad.

Recordemos que definíamos el conjunto de los números enteros (Z), como los todos los números Naturales unidos a los negativos. 




Se representan en la recta real de la siguiente forma:



Esta representación nos define una relación de orden: el número que queda más a la derecha en la recta siempre es mayor que el que queda a la izquierda. Así:

3>2

4>-1

-5<-1

-2<0

-6<2

Practica aquí la relación de orden en los números enteros

Recordemos cómo hemos trabajado en clase la suma de números enteros.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:

• Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el signo que tienen.

• Si tienen diferente signo, se restan y se pone el signo del mayor.

Veamos algunos ejemplos: 

a)    +9-5=+4

b)    +3-7=-4

c)    +6-10=-4

d)    -2+7=+5

e)    -15+5=-10

f)    +7-12=-5

g)     -22-36=-58

h)  +18+27=+45

Veamos qué pasa cuando nos encontramos paréntesis:

• Un signo + delante de un paréntesis deja lo de dentro igual.
• Un signo – delante de un paréntesis cambia de signo todo lo de dentro.

Ejemplos:

(+2)-(+3)=+2-3=-1

(-5)-(-3)=-5+3=-2

+2-(3-5+6)=+2-3+5-6=+7-9=-2

Cuando tengamos más de dos números operando, utilizaremos el siguiente procedimiento:

• Sumamos todos los positivos y todos los negativos y luego restamos.

Ejemplo: +9-4-8-56+10+19=(+9+10+19)-(4+8+56)=38 – 68 =-30

Puedes practicar haciendo clic aquí la suma y resta de números enteros.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

REGLA DE LOS SIGNOS

+ · + = +

+ · - = -

- · + = -

- · - = +

Ejemplos:

(+2)·(+5) = +10

(+2)·(-5) = -10

(-2)·(+5) = -10

(-2)·(-5) = +10

(-2)·(+5)·(-3) = +30

La división funciona exactamente igual:

(+10):(+2)=+5
(+15):(-3)=-5
(-12):(+6)=-2
((-12):(-6)=+2

Puedes practicar aquí la multiplicación y división de números enteros.

OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS.

Prioridad de las operaciones:

1)    Paréntesis y corchetes

2)    Potencias y raíces

3)    Multiplicación y división

4)    Suma y resta

Ejemplos:

a)    -5+2·4= -5+8=+3

b)    -2·5-3·(-2)=-10+6=-4

c)    (-5+2)·4=-3·4=-12

d)    (-3)·(+5-7)=(-3)·(-2)=+6

e)    (-10):5+6=-2+6=+4

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

2³=2·2·2=8

(-2)³=(-2)·(-2)·(-2)=-8

(-2)²=(-2)·(-2)=+4

(-2)⁴=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+16

(-2)⁵=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=-32

(-a)ⁿ,   si n es par,   +

            si n es impar, -

¡OJO!, -2²=-4

            -2³=-8, si no hay paréntesis, no se aplica la norma anterior; siempre es negativo.

¡OJO!, (+2)³=+8, si la base es positiva, siempre da +

Aquí puedes ver un listado de ejercicios de resumen resueltos.

Aquí tenéis acceso a actividades interactivas de repaso de la unidad

1ESO. TEMA 3. DIVISIBILIDAD

Puedes descargar aquí los apuntes actualizados y el deber

Aquí os podré los apuntes con los problemas resueltos


DEFINICIONES PREVIAS

La división es exacta.
35 es divisible entre 7

35 es múltiplo de 7

7 es divisor de 35

35 es múltiplo de 5

5 es divisor de 35

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO:

Múltiplos de 2:

2·1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8;… tiene infinito múltiplos.

Propiedad interesante: 6 y 8 son múltiplos de 2, 6+8=14 también es múltiplo de 2

Si a y b son múltiplos de c, entonces a+b también es múltiplo de c.

Aquí tienes una sencilla actividad para repasar la divisibilidad.

DIVISORES DE UN NÚMERO

Calcula todos los divisores de 36

Lo haremos realizando sucesivas divisiones que nos den exactas:

36:1=36; 36:2=18; 36:3=12; 36:4=9; 36:6=6

Divisores: 1 y 36, 2 y 18, 3 y 12, 4 y 9, 6. Si los ordenamos nos queda:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Múltiplos de 2: Cuando el número es par, es decir acaba en 0, 2, 4, 6, 8.

Ejemplos: 28, 96, 1450, 426…

Múltiplos de 3: Cuando la suma de sus cifras de 3 o múltiplo de 3.

Ejemplos: 999, 9+9+9=27, 2+7=9, es múltiplo de 3.

1452, 1+4+5+2=12, es múltiplo de 3.

78960, 7+8+9+6+0=30

Múltiplos de 5: Si acaba en 0 ó en 5.

25, 30, 60, 7855…

Múltiplos de 10: Acaban en 0; 120, 60, 15000, …

Múltiplos de 11:

25·11=2(2+5)5=275, abrimos el número y ponemos en el centro la suma de las cifras. 

Otro criterio más general: cuando la diferencia de la suma de sus cifras en posición par e impar da 0 ó múltiplo de 11:

Ejemplo:11·375=4125, 4+2=6

                                   1+5=6         6-6=0  

                        15785, 1+7+5=13

                                       5+8=13    13-13=0, es múltiplo de 11

Puedes repasar los criterios de divisibilidad haciendo clic aquí.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Número primo: es aquel que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad.

Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, …

Número compuesto: cuando no es primo.

Ejemplo: 9, sus divisores son: 1, 3, 9

CRIBA DE ERATÓSTENES

Vamos tachando todos los múltiplos de 2, 3, 5, etc.... Los números que quedan sin tachar son los primos.

Aquí tenemos hasta el 120:

Mira bien la tabla, intenta memorizar los números primos y realiza la siguiente actividad.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

Vamos dividiendo el número por los sucesivos números primos como en el ejemplo siguiente:

 Aquí os pongo una actividad para repasar esto.

 

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS

Ejemplo: El autobús 49 pasa cada 12min, y el 30 pasa cada 15min. Si a las 9:00h coinciden los dos en la parada, ¿cuándo volverán a coincidir?

Bus 49: 12        24        36        48        60

Bus 30:      15            30          45          60

La primera vez que coinciden es a los 60min, es decir, a las 10:00h, a las 11, a las 12, etc..

60 es el mínimo común múltiplo de 12 y 15: mcm(12,15)

Método óptimo para calcular el mcm:

1º.- Descomponer los números en factores primos.

2º.- Tomaremos de los factores repetidos, los de mayor exponente. Y además los no repetidos.

12 = 2²·3

15 = 3·5            mcm(12, 15) =2²·3·5 = 60

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Ejemplo: Tenemos que envasar 12 magdalenas y 18 croissants en paquetes iguales sin que nos sobre ninguno y sin mezclarlos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden empaquetar?

Paquetes de 1 unidad                         Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Paquetes de 2 unidades                       Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Paquetes de 3 unidades

Paquetes de 6 unidades

1, 2, 3 y 6 son los divisores comunes de 12 y 18.

¿Cuál es el mayor envase que puedo hacer? Será un envase de 6 unidades.

Así, el MÁXIMO COMÚN DIVISOR  de 12 y 18 = 6, MCD(12, 18)=6

Método óptimo para calcular el MCD:

1.- Descomponemos los números en factores primos.

2.- Tomaremos de los factores repetidos, el de menor exponente.

12=2²·3

18=2·3² MCD(12,18)=2·3=6

Aquí tienes una actividad para repasar estos conceptos

Aquí tienes un enlace para repasar toda la unidad en contenidos interactivos. Junta de Extremadura. También tiene resolución de problemas.