Repas 2a ava Mate B

Ací vos deixe uns quants exàmens de la 2a avaluació d'altres anys. He subratllat en negre el que no entra:
https://docs.google.com/folder/d/0B0-BIOMDQVQULVFCWXlnNkl5cXM/edit?usp=sharing

4ESOA. T7 SISTEMAS DE ECUACIONES

Recordamos los conceptos que hemos trabajado en esta unidad:

Sistemas de ecuaciones lineales: los hemos resuelto por tres métodos.  

• Sustitución
• Igualación
• Reducción

En los apuntes de 2º de ESO están detallados los tres métodos.

Aquí podéis repasar algunos casos sencillos.

Podéis repasar toda la unidad de 3º de ESO para practicar aquí. Están detallados los tres métodos.

También hemos trabajado sistemas lineales un poco más complejos, en los que hay que realizar transformaciones previas a las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones no lineales. Recordad que no siempre se puede aplicar cualquier método, hay que elegir el adecuado. Posteriormente hay que expresar las soluciones como pares de valores en forma de coordenadas de puntos.

Aquí tienes algunos propuestos con sus  soluciones.

Problemas, numéricos, geométricos, etc...

Puedes repasar cómo se hacen algunos aquí.

En este enlace también tenéis unos apuntes muy completos con ejercicios.

2ESO. 3ESO. SISTEMAS DE ECUACIONES

Aquí os pongo los apuntes actualizados del tema:

2º de ESO:

• Apuntes y ejercicios tema 7
• Apuntes tema 7
• Práctica de resolución de los tres métodos. Interactivo. Haz clic aquí (a partir del ejercicio 4)

3º de ESO: 

•  Apuntes y ejercicios del Tema 6.
• Actividades interactivas para repasar los tres métodos.
• Aquí tenéis un enlace a las actividades de la Junta de Extremadura. Está bastante bien explicado.
• Aquí también está bastante bien explicado y también tiene ejercicios interactivos: Vitutor.

4ESOA. T6. ECUACIONES E INECUACIONES

Aquí os pongo el listado de ejercicios de la unidad.

A continuación os detallo los contenidos que debéis repasar:
 

Ecuaciones de primer grado. (con paréntesis, denominadores...). Aquí podéis repasarlas.

Ecuaciones de segundo grado

-  Resolución de ecuaciones de segundo grado, completas e incompletas y otras más complejas.

 Aquí tenéis un ejercicio para repasarlas.

 Aquí tenéis otro.

Ecuaciones factorizadas. Repasadlo aquí

Ecuaciones con radicales. Recordad que siempre hay que comprobar la solución

 Haz clic aquí para ver un ejercicio

 

Ecuaciones con x en el denominador. También estas hay que comprobarlas siempre.

 Podéis repasarlo aquí

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

-  Identificación de soluciones de una inecuación de primer grado.

-  Resolución de inecuaciones de primer grado. Semirrecta solución. Interpretación gráfica. Aquí puedes repasarlas.

-  Resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado.

 Aquí puedes repasar resolución de sistemas de inecuaciones.

 Resolución de problemas

-  Resolución de problemas mediante ecuaciones. Podéis ver algunos aquí.

-  Resolución de problemas mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones

2ESO. ECUACIONES

Os pongo continuación los apuntes del tema de ecuaciones:

2ESO. Ecuaciones

Ecuaciones con denominadores, os pongo un ejemplo resuelto paso a paso:

	1º Quitar denominadores. Para ello calculamos el mcm de todos los denominadores. En este caso, mcm(3,4,6)=12 Ponemos toda la ecuación con denominador 12. Dividimos 12 entre su denominador anterior y multiplicamos por el numerador: 12:6=2 => 2·5x=10x 12:1=12 => 12·1=12 12:3=4 => 4·x=4x 12:4=3 => 3·3=9
	2º Tachamos los denominadores. Ahora nos queda una ecuación normal de primer grado
	3ºResolvemos  esa ecuación, pasamos las x a un lado y los números al otro.
	4º Operamos.
	5º Despejamos la x y simplificamos.

Os pongo otro ejemplo con paréntesis y denominadores:

Puedes repasar con actividades interactivas en los siguientes enlaces:

Ecuaciones  de primer grado sencillas, aquí también.
Ecuaciones con denominadores.
Más ecuaciones de primer grado.
Ecuaciones de segundo grado incompletas.
Ecuaciones de segundo grado completas, fórmula general.
Aquí tienes algunos ejercicios y problemas resueltos.

Aquí tienes otros apuntes muy completos de 2º de ESO. Tienen diferentes tipos de problemas.

3ESO. TEMA 5. POLINOMIOS

Haz clic aquí para ver los apuntes de clase actualizados y el deber

Traducción de enunciados a lenguaje algebraico:

·         Un número natural … x , n , a

·         El siguiente de ese número: n+1

·         El anterior: … n-1

·         El doble de un número más cinco unidades: 2x+5

·         El doble del resultado de sumar cinco unidades a un número: 2·(x+5)

·         La mitad de un número: x/2

·         La tercera parte del resultado de sumar tres unidades al doble de un número: (2x+3)/3

Expresiones algebraicas. Tipos:

·         Identidad: Igualdad algebraica que se cumple siempre. Ejemplo:

a+b=b+a (Propiedad conmutativa de la suma)

a+(b+c)=(a+b)+c (Propiedad asociativa)

a·(b+c)=a·b+a·c (Propiedad distributiva)

2·(x+1)=2x+2

·         Ecuación: Igualdad algebraica, que sólo se cumple para algunos valores de las letras, que son las soluciones de la ecuación. Ejemplo:

2x=6, solución x=3

X²-1=3, soluciones: x=2, x=-2

·         Monomios: Expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:

3x ; 3x² ; 3x³y²z ; (1/2)a·b

·         Polinomios: Varios monomios.

3x+1 ; 2x²-5x+3 ; 5x³-7x²+6x-3

Monomios.

Coeficiente: El número que multiplica.

Parte literal: La parte de las letras.

Grado: La suma de los exponentes de la parte literal.

·         Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Si suponemos que x=2, y=3, z=1

OPERACIONES CON MONOMIOS

Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x²   y   2x no son semejantes

·        3x²y  , 5xy² no.

·        3x²y ,  -7yx² sí.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x²-9x²+6x²-3x²= -1x² = -x²

·        4x³-2x+6x³+7x= 10x³+5x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x²= 10x³

·        3x²y³·(-5)xy²= -15x³y⁵

·        2xy³·(-1/4)x²y⁵z²=(-2/4)x³y⁸z²

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Tampoco hace falta que sean semejantes. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x³) : (2x²) = 2x
 

Puedes ver otros apuntes sobre esto haciendo clic aquí.

POLINOMIOS. OPERACIONES.

Puedes ver las operaciones con polinomios aquí.

 

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos algunos ejemplos:

(x+1)²=(x+1)·(x+1)= x²+2x+1

(2x+3)²=(2x+3)·(2x+3)= 4x²+12x+9

(x-1)²=(x-1)·(x-1)= x²-2x+1

(2x-3)²=(2x-3)·(2x-3)=  4x²-12x+9

(x+1)·(x-1)= x²-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x²-9

Así, obtenemos las siguientes identidades:

(a+b)²=a²+2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)²= a²-2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a²-b²

Suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

Puedes practicar los productos notables aquí. 

SACAR FACTOR COMÚN:

Hemos de buscar los factores que se repiten en cada uno de los términos del polinomio, de modo que al realizar el producto resultante nos vuelva a salir el polinomio inicial.

Veamos algunos ejemplos de cómo se saca factor común:

·         2x+4x²-6x³+8=2·(x+2x²-3x³+4)

·         6x²+12x³-15x⁴+3x=3x·(2x+4x²-5x³+1)

·         2x³-12x²+18x=2x·(x²-6x+9)

·         4x²+16x³-8x⁵-12x⁶=4x²·(1+4x-2x³-3x⁴)

·         5xy+10x²y-15xy²+60x³y²=5xy·(1+2x-3y+12x²y)

Aquí puedes repasar la extracción de factor común.

 

Aquí tienes actividades interactivas para repasar. (7, 8 y 9 no)

2ESO. Tema 4. ÁLGEBRA

ÁLGEBRA de Santi Selvi y Zarzo

 Aquí puedes descargar los apuntes actualizados y el deber

También podéis descargar aquí el CÓMIC DE ÁLGEBRA, de Santi Selvi y dibujos de Zarzo, lo trabajaremos en clase. Un recurso muy valioso, entretenido e interesante.


Lenguaje algebraico, utilidades:

·        Generalizaciones (Identidades= se verifican para cualquier número)

o      Propiedad conmutativa de la suma: a+b = b+a

o      Propiedad conmutativa del producto: a·b = b·a

o      Propiedad asociativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c)

·        Fórmulas:

o      Área del cuadrado: A=l·l

o      Área del rectángulo: A=b·a

o      Área del triángulo: A=(b·a)/2

o      Interés simple: I=(C·r·t)/100

·        Ecuaciones, sólo se verifican para determinados valores, que son las soluciones:

2·x+1=7, en este caso se cumple para x=3, y solamente para x=3.

x=3 es la SOLUCIÓN de la ecuación.

x²=9, x=3, x=-3, esta ecuación tiene dos soluciones.

·        Traducción de enunciados:

o      Un número natural cualquiera:            x (ó n, ó a)

o      El siguiente de ese número:               x+1

o      El siguiente del doble de ese número: 2·x+1

o      El anterior de ese número:                x-1

o      El doble del siguiente:                     2·(x+1)
Puedes practicarlo haciendo clic aquí

MONOMIOS:

·        Definición: Es una expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:

Coeficiente: El número que multiplica

Parte literal: Parte de las letras.

Grado: La suma de los exponentes de las letras.

Puedes practicar esto aquí

·        Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Ejemplo: Si suponemos que x=2, y =3, entonces, el valor numérico de 3xy es: 3·2·3=12

OPERACIONES CON MONOMIOS

Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x²   y   2x no son semejantes

·        3x²y  , 5xy² no.

·        3x²y ,  -7yx² sí.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS: 

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x²-9x²+6x²-3x²= -1x² = -x²

·        4x³-2x+6x³+7x= 10x³+5x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x²= 10x³

·        3x²y³·(-5)xy²= -15x³y⁵

·        2xy³·(-1/4)x²y⁵z²=(-2/4)x³y⁸z²

         DIVISIÓN DE MONOMIOS

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x³) : (2x²) = 2x

(3x²) : (15x⁴) = 1/(5x²) Esto es una fracción algebraica

Aquí estan explicadas las operaciones con monomios. 

Aquí puedes practicar las operaciones con monomios, actividades 4, 5 y 6.

POLINOMIOS

Es la suma indicada de varios monomios. Ejemplos:

P=5x²+2x-1     

Q=-7x³+15x²y-2xy²+y³

 

Grado de un polinomio: El grado del monomio de mayor grado.

En este caso, 

P es de grado 2

Q es de grado 3

Valor numérico: El resultado de sustituir las letras por números y calcular.

Para x= 1, P(1)=5·1²+2·1-1=6

Para x=-2, P(-2)=5·(-2)²+2·(-2)+1=20-4+1=17

Para x=2, y=-1, Q(2,-1)=-7·2³+15·2²·(-1)-2·2·(-1)²+(-1)³=-56-60-4-1=-121

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Veamos un ejemplo

A= 2x²-5x+7    B=-3x³+6x²+3x-1

  A+B

  A-B

           Al polinomio que resta le cambio los signos

   

Aquí puedes practicar la suma y resta de polinomios

 

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:

Polinomio x número:

(-2)·(2x³-x²-7x-1)= -4x³+2x²+14x+2

Polinomio x monomio:

(-3x²)·(2x³-x²-7x-1)= -6x⁵+3x⁴+21x³+3x²

Polinomio x polinomio:

(-3x²+2x-3)·(2x³-x²-7x-1)

                                 

                                            

Puedes practicar la multipicación de polinomios haciendo clic aquí

También está explicado aquí.

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos qué pasa cuando hacemos las siguientes multiplicaciones:

(x+1)²=(x+1)·(x+1)= x²+2x+1

(2x+3)²=(2x+3)·(2x+3)= 4x²+12x+9

(x-1)²=(x-1)·(x-1)= x²-2x+1

(2x-3)²=(2x-3)·(2x-3)=  4x²-12x+9

(x+1)·(x-1)= x²-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x²-9

De aquí obtenemos las siguientes identdades notables:

(a+b)²=a²+2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)²= a²-2·a·b+b²

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a²-b²

Suma por diferencia,  es igual a diferencia de cuadrados.

Aquí puedes practicar las identidades notables


SACAR FACTOR COMÚN:

Aquí vemos algunos ejemplos de cómo sacar factor común en polinomios. Hemos de ver qué factores, numéricos o literales, se repiten en cada uno de los términos que componen el polinomio. el producto de la expresión resultante debe ser igual a la exptresión inicial. Veamos algunos ejemplos:

·        2x+4x²-6x³+8=2·(x+2x²-3x³+4)

·        6x²+12x³-15x⁴+3x=3x·(2x+4x²-5x³+1)

·        2x³-12x²+18x=2x·(x²-6x+9)

·        4x²+16x³-8x⁵-12x⁶=4x²·(1+4x-2x³-3x⁴)

·        5xy+10x²y-15xy²+60x³y²=5xy·(1+2x-3y+12x²y)

Puedes practicar la extracción de factor común aquí