1ESO: Aquí os pondré los apuntes actualizados.
2ESO: Aquí podéis descargar los apuntes actualizados y el deber
RAZÓN Y PROPORCIÓN:
Una razón es un cociente indicado entre dos números, por ejemplo: ¾
Una proporción es una igualdad entre dos razones:
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Magnitud: Es
una cualidad de las cosas que se puede medir. Por ejemplo: longitud, peso,
volumen, temperatura, tiempo, precio, …
Dos magnitudes son directamente proporcionales si cuando
una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción.
Ejemplos:
- Distancia y tiempo: si voy a una velocidad continua, si recorro 10m en 3s, 20m los recorreré en 6s.
- Kilos de naranjas, coste: El precio de la naranja es 0,55€/kg, si compro 5kg, me cuestan 2,50€, si compro 10kg, 5€
Resolución de problemas, método de reducción a la unidad:
José Manuel hace una ruta en bicicleta a velocidad
constante. Ha recorrido en 2h 48km, ¿cuánto
recorrerá en 1h?¿Y en 3h?
2h --- 48km
1h --- 48/2=24km (Es decir, va a 24km/h)
3h --- 24·3=72km
Un grifo tira 12l de agua en 3 minutos, ¿cuántos
tirará en 5min?
3min --- 12l
1min --- 12/3=4l
5min --- 4·5=20l
Veamos un ejemplo por REGLA DE 3:
4h de aparcamiento me cuestan 5€, ¿cuánto me costarán 7h?
4h ---D--- 5€
MAGNITUDES
INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si cuando
una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.
Ejemplos:
- Velocidad y tiempo en recorrer una distancia.
- Número de trabajadores y tiempo que se tarda en realizar un trabajo.
Jose Manuel va de Guadassuar
a Alzira en bici, veamos qué pasa si va cambiando su velocidad:
Tiempo
|
60min
|
30min
|
20min
|
10min
|
5min
|
||
Velocidad
|
5km/h
|
10km/h
|
15km/h
|
30km/h
|
60km/h
|
Igualmente podemos utilizar el método de reducción a la unidad pero de forma inversa, veamos un ejemplo:
Dos trabajadores limpian el parque en 3 horas, ¿cuánto tardará un trabajador? ¿Y cuatro?
2 trabajadores ----- 3h
1 trabajador -------- 3·2=6h (al ser inversa, la mitad de personas tardarán el doble de tiempo)
4 trabajdores ------- 6/4=1,5h=1h 30min
También podemos resolverlo con la regla de 3 inversa, teniendo en cuenta que al escribir la proporción del problema hay que darle la vuelta a una de las razones:
2 trab. ---------- 3h
4 trab. ---------- x h
2ESO: PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Veamos algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad compuesta:
Ejemplo1:
Un granjero ha necesitado 336kg de pienso para
alimentar 12 terneros durante una semana. ¿Cuántos kilos necesitará para 20 terneros
durante 30 días?
336kg -----D----- 12 terneros ---------- 7 días
X -------------- 20 terneros ---------- 30días
---------------- D
--------------------------
Aquí analizamos si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales respecto de la incógnita. Así:
- A más terneros, necesitaremos más kilos de pienso es directa.
- A más días, necesitaremos más kilos de pienso; también es directa.
Planteamos la proporción del problema de la siguiente manera y resolvemos:
Ejemplo 2:
Un grupo de obreros trabajando 8h/d construyen
480m2 de pared en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán los mismos
obreros en construir 900m2 trabajando 10h/d?
8h/d ------------ 480m2 ------D----- 10 días
10h/d ----------- 900 m2 ---------- x
------------------------ I -------------- A la razón que sea inversa le
doy la vuelta; escribimos la proporción de la siguiente forma y resolvemos:
PORCENTAJES
Un porcentaje se puede entender como una regla de 3
directa:
15% de 125:
100% ---D--- 125
15% ----------- x
entonces, x=15·125/100=18,75
También se puede entender un % como el cálculo de la fracción de un número:
15% de 125 = (15/100)·125=(3/20)·125=18,75
También se puede ver como un número decimal:
15% de 125 =(15/100)·125 = 0,15 · 125 = 18,75
Se nos puede plantear tres tipos de problemas con porcentajes directos:
- Cálculo de un porcentaje directo.
Como ya hemos visto en el ejemplo anterior, 15% de 125 = 15·125/100
- Cálculo del total, conocida la parte y el porcentaje.
En una clase de 2º de ESO 6 alumnos colaboran con una ONG, lo que representa el 25% del total de la clase. ¿Cuántos alumnos hay en total?
En este caso lo planteamos de la siguiente forma:
25% de x = 6, así aplicamos el cálculo del porcentaje al revés que en el ejemplo anterior.
x= 6 ·100/25 = 24 alumnos y alumnas
Aquí, siguiendo el mismo procedimiento que antes, aplicamos la siguiente expresión:
% = (Parte/Total)·100
Así, nos queda: % = (6/24)·100 = 25%
Aquí tenéis el enlace a la misma entrada de 3º de ESO, que también está explicado.
- Cálculo del porcentaje, conocida la parte y el total.
Aquí, siguiendo el mismo procedimiento que antes, aplicamos la siguiente expresión:
% = (Parte/Total)·100
Así, nos queda: % = (6/24)·100 = 25%
Aumentos
y disminuciones porcentuales:
Vamos a una tienda de ropa y vemos el siguiente artículo:
Pantalón: 24€+21%IVA
IVA=24·21/100=5,04€, por lo tanto, el precio final es:
24+5,04=29,04€
Posteriormente, la misma tienda pone artículos en rebajas:
Rebajas: Pantalón 29€, con el 25% de descuento
25% de 29 = 25·29/100= 7,25€ de descuento, precio final =
29-7,25 = 21,75€
2ESO: INTERÉS SIMPLE:
Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un
plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero
tendrá al final de ese período?
1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses
En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses
Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€
FÓRMULA DEL INTERÉS SIMPLE:
Aquí tenéis el enlace a la misma entrada de 3º de ESO, que también está explicado.
