3ESO. TEMA 5. POLINOMIOS

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Traducción de enunciados a lenguaje algebraico:

·         Un número natural … x , n , a

·         El siguiente de ese número: n+1

·         El anterior: … n-1

·         El doble de un número más cinco unidades: 2x+5

·         El doble del resultado de sumar cinco unidades a un número: 2·(x+5)

·         La mitad de un número: x/2

·         La tercera parte del resultado de sumar tres unidades al doble de un número: (2x+3)/3

Expresiones algebraicas. Tipos:

·         Identidad: Igualdad algebraica que se cumple siempre. Ejemplo:

a+b=b+a (Propiedad conmutativa de la suma)

a+(b+c)=(a+b)+c (Propiedad asociativa)

a·(b+c)=a·b+a·c (Propiedad distributiva)

2·(x+1)=2x+2

·         Ecuación: Igualdad algebraica, que sólo se cumple para algunos valores de las letras, que son las soluciones de la ecuación. Ejemplo:

2x=6, solución x=3

X²-1=3, soluciones: x=2, x=-2

·         Monomios: Expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:

3x ; 3x² ; 3x³y²z ; (1/2)a·b

·         Polinomios: Varios monomios.

3x+1 ; 2x²-5x+3 ; 5x³-7x²+6x-3

Monomios.

Coeficiente: El número que multiplica.

Parte literal: La parte de las letras.

Grado: La suma de los exponentes de la parte literal.

·         Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Si suponemos que x=2, y=3, z=1

OPERACIONES CON MONOMIOS

Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x²   y   2x no son semejantes

·        3x²y  , 5xy² no.

·        3x²y ,  -7yx² sí.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x²-9x²+6x²-3x²= -1x² = -x²

·        4x³-2x+6x³+7x= 10x³+5x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x²= 10x³

·        3x²y³·(-5)xy²= -15x³y⁵

·        2xy³·(-1/4)x²y⁵z²=(-2/4)x³y⁸z²

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Tampoco hace falta que sean semejantes. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x³) : (2x²) = 2x
 

Puedes ver otros apuntes sobre esto haciendo clic aquí.

POLINOMIOS. OPERACIONES.

Puedes ver las operaciones con polinomios aquí.

 

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos algunos ejemplos:

(x+1)²=(x+1)·(x+1)= x²+2x+1

(2x+3)²=(2x+3)·(2x+3)= 4x²+12x+9

(x-1)²=(x-1)·(x-1)= x²-2x+1

(2x-3)²=(2x-3)·(2x-3)=  4x²-12x+9

(x+1)·(x-1)= x²-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x²-9

Así, obtenemos las siguientes identidades:

(a+b)²=a²+2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)²= a²-2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a²-b²

Suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

Puedes practicar los productos notables aquí. 

SACAR FACTOR COMÚN:

Hemos de buscar los factores que se repiten en cada uno de los términos del polinomio, de modo que al realizar el producto resultante nos vuelva a salir el polinomio inicial.

Veamos algunos ejemplos de cómo se saca factor común:

·         2x+4x²-6x³+8=2·(x+2x²-3x³+4)

·         6x²+12x³-15x⁴+3x=3x·(2x+4x²-5x³+1)

·         2x³-12x²+18x=2x·(x²-6x+9)

·         4x²+16x³-8x⁵-12x⁶=4x²·(1+4x-2x³-3x⁴)

·         5xy+10x²y-15xy²+60x³y²=5xy·(1+2x-3y+12x²y)

Aquí puedes repasar la extracción de factor común.

 

Aquí tienes actividades interactivas para repasar. (7, 8 y 9 no)