2ESO. Tema 4. ÁLGEBRA

ÁLGEBRA de Santi Selvi y Zarzo

 Aquí puedes descargar los apuntes actualizados y el deber

También podéis descargar aquí el CÓMIC DE ÁLGEBRA, de Santi Selvi y dibujos de Zarzo, lo trabajaremos en clase. Un recurso muy valioso, entretenido e interesante.


Lenguaje algebraico, utilidades:

·        Generalizaciones (Identidades= se verifican para cualquier número)

o      Propiedad conmutativa de la suma: a+b = b+a

o      Propiedad conmutativa del producto: a·b = b·a

o      Propiedad asociativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c)

·        Fórmulas:

o      Área del cuadrado: A=l·l

o      Área del rectángulo: A=b·a

o      Área del triángulo: A=(b·a)/2

o      Interés simple: I=(C·r·t)/100

·        Ecuaciones, sólo se verifican para determinados valores, que son las soluciones:

2·x+1=7, en este caso se cumple para x=3, y solamente para x=3.

x=3 es la SOLUCIÓN de la ecuación.

x²=9, x=3, x=-3, esta ecuación tiene dos soluciones.

·        Traducción de enunciados:

o      Un número natural cualquiera:            x (ó n, ó a)

o      El siguiente de ese número:               x+1

o      El siguiente del doble de ese número: 2·x+1

o      El anterior de ese número:                x-1

o      El doble del siguiente:                     2·(x+1)
Puedes practicarlo haciendo clic aquí

MONOMIOS:

·        Definición: Es una expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:

Coeficiente: El número que multiplica

Parte literal: Parte de las letras.

Grado: La suma de los exponentes de las letras.

Puedes practicar esto aquí

·        Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Ejemplo: Si suponemos que x=2, y =3, entonces, el valor numérico de 3xy es: 3·2·3=12

OPERACIONES CON MONOMIOS

Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x²   y   2x no son semejantes

·        3x²y  , 5xy² no.

·        3x²y ,  -7yx² sí.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS: 

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x²-9x²+6x²-3x²= -1x² = -x²

·        4x³-2x+6x³+7x= 10x³+5x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x²= 10x³

·        3x²y³·(-5)xy²= -15x³y⁵

·        2xy³·(-1/4)x²y⁵z²=(-2/4)x³y⁸z²

         DIVISIÓN DE MONOMIOS

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x³) : (2x²) = 2x

(3x²) : (15x⁴) = 1/(5x²) Esto es una fracción algebraica

Aquí estan explicadas las operaciones con monomios. 

Aquí puedes practicar las operaciones con monomios, actividades 4, 5 y 6.

POLINOMIOS

Es la suma indicada de varios monomios. Ejemplos:

P=5x²+2x-1     

Q=-7x³+15x²y-2xy²+y³

 

Grado de un polinomio: El grado del monomio de mayor grado.

En este caso, 

P es de grado 2

Q es de grado 3

Valor numérico: El resultado de sustituir las letras por números y calcular.

Para x= 1, P(1)=5·1²+2·1-1=6

Para x=-2, P(-2)=5·(-2)²+2·(-2)+1=20-4+1=17

Para x=2, y=-1, Q(2,-1)=-7·2³+15·2²·(-1)-2·2·(-1)²+(-1)³=-56-60-4-1=-121

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Veamos un ejemplo

A= 2x²-5x+7    B=-3x³+6x²+3x-1

  A+B

  A-B

           Al polinomio que resta le cambio los signos

   

Aquí puedes practicar la suma y resta de polinomios

 

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:

Polinomio x número:

(-2)·(2x³-x²-7x-1)= -4x³+2x²+14x+2

Polinomio x monomio:

(-3x²)·(2x³-x²-7x-1)= -6x⁵+3x⁴+21x³+3x²

Polinomio x polinomio:

(-3x²+2x-3)·(2x³-x²-7x-1)

                                 

                                            

Puedes practicar la multipicación de polinomios haciendo clic aquí

También está explicado aquí.

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos qué pasa cuando hacemos las siguientes multiplicaciones:

(x+1)²=(x+1)·(x+1)= x²+2x+1

(2x+3)²=(2x+3)·(2x+3)= 4x²+12x+9

(x-1)²=(x-1)·(x-1)= x²-2x+1

(2x-3)²=(2x-3)·(2x-3)=  4x²-12x+9

(x+1)·(x-1)= x²-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x²-9

De aquí obtenemos las siguientes identdades notables:

(a+b)²=a²+2·a·b+b²

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)²= a²-2·a·b+b²

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a²-b²

Suma por diferencia,  es igual a diferencia de cuadrados.

Aquí puedes practicar las identidades notables


SACAR FACTOR COMÚN:

Aquí vemos algunos ejemplos de cómo sacar factor común en polinomios. Hemos de ver qué factores, numéricos o literales, se repiten en cada uno de los términos que componen el polinomio. el producto de la expresión resultante debe ser igual a la exptresión inicial. Veamos algunos ejemplos:

·        2x+4x²-6x³+8=2·(x+2x²-3x³+4)

·        6x²+12x³-15x⁴+3x=3x·(2x+4x²-5x³+1)

·        2x³-12x²+18x=2x·(x²-6x+9)

·        4x²+16x³-8x⁵-12x⁶=4x²·(1+4x-2x³-3x⁴)

·        5xy+10x²y-15xy²+60x³y²=5xy·(1+2x-3y+12x²y)

Puedes practicar la extracción de factor común aquí