martes, 18 de diciembre de 2012

2ESO. Tema 4. ÁLGEBRA

ÁLGEBRA de Santi Selvi y Zarzo
 Aquí puedes descargar los apuntes actualizados y el deber

También podéis descargar aquí el CÓMIC DE ÁLGEBRA, de Santi Selvi y dibujos de Zarzo, lo trabajaremos en clase. Un recurso muy valioso, entretenido e interesante.


Lenguaje algebraico, utilidades:
·        Generalizaciones (Identidades= se verifican para cualquier número)
o      Propiedad conmutativa de la suma: a+b = b+a
o      Propiedad conmutativa del producto: a·b = b·a
o      Propiedad asociativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c)
·        Fórmulas:
o      Área del cuadrado: A=l·l
o      Área del rectángulo: A=b·a
o      Área del triángulo: A=(b·a)/2
o      Interés simple: I=(C·r·t)/100
·        Ecuaciones, sólo se verifican para determinados valores, que son las soluciones:

2·x+1=7, en este caso se cumple para x=3, y solamente para x=3.
x=3 es la SOLUCIÓN de la ecuación.

x2=9, x=3, x=-3, esta ecuación tiene dos soluciones.

·        Traducción de enunciados:
o      Un número natural cualquiera:            x (ó n, ó a)
o      El siguiente de ese número:               x+1
o      El siguiente del doble de ese número: 2·x+1
o      El anterior de ese número:                x-1
o      El doble del siguiente:                     2·(x+1)
Puedes practicarlo haciendo clic aquí
MONOMIOS:

·        Definición: Es una expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:


Coeficiente: El número que multiplica
Parte literal: Parte de las letras.
Grado: La suma de los exponentes de las letras.

Puedes practicar esto aquí


·        Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Ejemplo: Si suponemos que x=2, y =3, entonces, el valor numérico de 3xy es: 3·2·3=12

OPERACIONES CON MONOMIOS



Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x2   y   2x no son semejantes

·        3x2y  , 5xy2 no.

·        3x2y ,  -7yx2 sí.



SUMA Y RESTA DE MONOMIOS: 



Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x2-9x2+6x2-3x2= -1x2 = -x2

·        4x3-2x+6x3+7x= 10x3+5x



MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:



No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x2= 10x3

·        3x2y3·(-5)xy2= -15x3y5

·        2xy3·(-1/4)x2y5z2=(-2/4)x3y8z2

         DIVISIÓN DE MONOMIOS


Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x3) : (2x2) = 2x

(3x2) : (15x4) = 1/(5x2) Esto es una fracción algebraica




POLINOMIOS

Es la suma indicada de varios monomios. Ejemplos:

P=5x2+2x-1     

Q=-7x3+15x2y-2xy2+y3

 

Grado de un polinomio: El grado del monomio de mayor grado.

En este caso, 

P es de grado 2

Q es de grado 3



Valor numérico: El resultado de sustituir las letras por números y calcular.

Para x= 1, P(1)=5·12+2·1-1=6

Para x=-2, P(-2)=5·(-2)2+2·(-2)+1=20-4+1=17

Para x=2, y=-1, Q(2,-1)=-7·23+15·22·(-1)-2·2·(-1)2+(-1)3=-56-60-4-1=-121



SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Veamos un ejemplo

A= 2x2-5x+7    B=-3x3+6x2+3x-1


  A+B










  A-B



           Al polinomio que resta le cambio los signos

   
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:



Polinomio x número:

(-2)·(2x3-x2-7x-1)= -4x3+2x2+14x+2


Polinomio x monomio:

(-3x2)·(2x3-x2-7x-1)= -6x5+3x4+21x3+3x2


Polinomio x polinomio:

(-3x2+2x-3)·(2x3-x2-7x-1)
                                 
                                            


También está explicado aquí.

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos qué pasa cuando hacemos las siguientes multiplicaciones:


(x+1)2=(x+1)·(x+1)= x2+2x+1

(2x+3)2=(2x+3)·(2x+3)= 4x2+12x+9


(x-1)2=(x-1)·(x-1)= x2-2x+1

(2x-3)2=(2x-3)·(2x-3)=  4x2-12x+9


(x+1)·(x-1)= x2-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x2-9

De aquí obtenemos las siguientes identdades notables:
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)2= a2-2·a·b+b2
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a2-b2
Suma por diferencia,  es igual a diferencia de cuadrados.

Aquí puedes practicar las identidades notables


SACAR FACTOR COMÚN:

Aquí vemos algunos ejemplos de cómo sacar factor común en polinomios. Hemos de ver qué factores, numéricos o literales, se repiten en cada uno de los términos que componen el polinomio. el producto de la expresión resultante debe ser igual a la exptresión inicial. Veamos algunos ejemplos:

·        2x+4x2-6x3+8=2·(x+2x2-3x3+4)

·        6x2+12x3-15x4+3x=3x·(2x+4x2-5x3+1)

·        2x3-12x2+18x=2x·(x2-6x+9)

·        4x2+16x3-8x5-12x6=4x2·(1+4x-2x3-3x4)

·        5xy+10x2y-15xy2+60x3y2=5xy·(1+2x-3y+12x2y)

Puedes practicar la extracción de factor común aquí


jueves, 29 de noviembre de 2012

1ESO, 2ESO. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

1ESO: Aquí os pongo los ejercicios de la unidad.
1ESO: Aquí os pondré los apuntes actualizados.

2ESO: Aquí podéis descargar los apuntes actualizados y el deber

RAZÓN Y PROPORCIÓN:

Una razón es un cociente indicado entre dos números, por ejemplo: ¾

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

 Cálculo del término desconocido de una proporción:


MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Magnitud: Es una cualidad de las cosas que se puede medir. Por ejemplo: longitud, peso, volumen, temperatura, tiempo, precio, …

Dos magnitudes son directamente proporcionales si cuando una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción.

Ejemplos:


  • Distancia y tiempo: si voy a una velocidad continua, si recorro 10m en 3s, 20m los recorreré en 6s.

  •  Kilos de naranjas, coste: El precio de la naranja es 0,55€/kg, si compro 5kg, me cuestan 2,50€, si compro 10kg, 5€


Resolución de problemas, método de reducción a la unidad:

José Manuel hace una ruta en bicicleta a velocidad constante. Ha recorrido en 2h 48km, ¿cuánto  recorrerá en 1h?¿Y en 3h?
2h --- 48km
1h --- 48/2=24km (Es decir, va a 24km/h)
3h --- 24·3=72km

 Un grifo tira 12l de agua en 3 minutos, ¿cuántos tirará en 5min?

3min --- 12l
1min --- 12/3=4l
5min --- 4·5=20l

Veamos un ejemplo por REGLA DE 3:
4h de aparcamiento me cuestan 5€, ¿cuánto me costarán 7h?
4h ---D--- 5€          
7h --------- x       







MAGNITUDES INVERSAMENTE  PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si cuando una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.

Ejemplos:
  • Velocidad y tiempo en recorrer una distancia.
  • Número de trabajadores y tiempo que se tarda en realizar un trabajo.
Jose Manuel va de Guadassuar a Alzira en bici, veamos qué pasa si va cambiando su velocidad:

Tiempo
60min
30min
20min
10min
5min


Velocidad
5km/h
10km/h
15km/h
30km/h
60km/h



Igualmente podemos utilizar el método de reducción a la unidad pero de forma inversa, veamos un ejemplo:

 Dos trabajadores limpian el parque en 3 horas, ¿cuánto tardará un trabajador? ¿Y cuatro?

 2 trabajadores ----- 3h
1 trabajador -------- 3·2=6h (al ser inversa, la mitad de personas tardarán el doble de tiempo)
4 trabajdores ------- 6/4=1,5h=1h 30min 

También podemos resolverlo con la regla de 3 inversa, teniendo en cuenta que al escribir la proporción del problema hay que darle la vuelta a una de las razones:

2 trab. ---------- 3h
4 trab. ---------- x h

2ESO: PODÉIS HACER AQUÍ ACTIVIDADES INTERACTIVAS Y DE REPASO DEL TEMA.   



2ESO: PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Veamos algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad compuesta:

Ejemplo1: 
Un granjero ha necesitado 336kg de pienso para alimentar 12 terneros durante una semana. ¿Cuántos kilos necesitará para 20 terneros durante 30 días?

336kg -----D----- 12 terneros ---------- 7 días
X     -------------- 20 terneros ---------- 30días
 ---------------- D --------------------------
Aquí analizamos si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales respecto de la incógnita. Así:
- A más terneros, necesitaremos más kilos de pienso es directa.
- A más días, necesitaremos más kilos de pienso; también es directa.
Planteamos la proporción del problema de la siguiente manera y resolvemos:

 
 

Ejemplo 2: 
Un grupo de obreros trabajando 8h/d construyen 480m2 de pared en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán los mismos obreros en construir 900m2 trabajando 10h/d?
8h/d ------------ 480m2 ------D----- 10 días
10h/d ----------- 900 m2 ---------- x
  ------------------------ I -------------- A la razón que sea inversa le doy la vuelta; escribimos la proporción de la siguiente forma y resolvemos:



PORCENTAJES

Un porcentaje se puede entender como una regla de 3 directa:
15% de 125:

100% ---D--- 125
15% ----------- x 
entonces, x=15·125/100=18,75

También se puede entender un % como el cálculo de la fracción de un número:

15% de 125 = (15/100)·125=(3/20)·125=18,75

También se puede ver como un número decimal:

15% de 125 =(15/100)·125 = 0,15 · 125 = 18,75

Se nos puede plantear tres tipos de problemas con porcentajes directos:

  • Cálculo de un porcentaje directo. 
Como ya hemos visto en el ejemplo anterior, 15% de 125 = 15·125/100
  • Cálculo del total, conocida la parte y el porcentaje.
En una clase de 2º de ESO 6 alumnos colaboran con una ONG, lo que representa el 25% del total de la clase. ¿Cuántos alumnos hay en total?
En este caso lo planteamos de la siguiente forma:
25% de x = 6, así aplicamos el cálculo del porcentaje al revés que en el ejemplo anterior.
x= 6 ·100/25 = 24 alumnos y alumnas
  • Cálculo del porcentaje, conocida la parte y el total.
 En la misma clase que antes, 6 alumnos han obtenido una nota superior a 9 en el último examen de Matemáticas. ¿Qué porcentaje de sobresalientes ha habido?
Aquí, siguiendo el mismo procedimiento que antes, aplicamos la siguiente expresión:

% = (Parte/Total)·100

Así, nos queda: % = (6/24)·100 = 25%



Aumentos y disminuciones porcentuales:

Vamos a una tienda de ropa y vemos el siguiente artículo:
Pantalón: 24€+21%IVA

IVA=24·21/100=5,04€, por lo tanto, el precio final es: 24+5,04=29,04€

Posteriormente, la misma tienda pone artículos en rebajas:
 
Rebajas: Pantalón 29€, con el 25% de descuento

25% de 29 = 25·29/100= 7,25€ de descuento, precio final = 29-7,25 = 21,75€



2ESO: INTERÉS SIMPLE:

Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese período?

1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses
En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses
Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€

FÓRMULA DEL INTERÉS SIMPLE:




Aquí tenéis el enlace a la misma entrada de 3º de ESO, que también está explicado.