martes, 18 de diciembre de 2012

2ESO. Tema 5. ÁLGEBRA

·        Generalizaciones (Identidades= se verifican para cualquier número)
o      Propiedad conmutativa de la suma: a+b = b+a
o      Propiedad conmutativa del producto: a·b = b·a
o      Propiedad asociativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c)
·        Fórmulas:
o      Área del cuadrado: A=l·l
o      Área del rectángulo: A=b·a
o      Área del triángulo: A=(b·a)/2
o      Interés simple: I=(C·r·t)/100
·        Ecuaciones, sólo se verifican para determinados valores, que son las soluciones:

2·x+1=7, en este caso se cumple para x=3, y solamente para x=3.
x=3 es la SOLUCIÓN de la ecuación.

x2=9, x=3, x=-3, esta ecuación tiene dos soluciones.

·        Traducción de enunciados:
o      Un número natural cualquiera:            x (ó n, ó a)
o      El siguiente de ese número:               x+1
o      El siguiente del doble de ese número: 2·x+1
o      El anterior de ese número:                x-1
o      El doble del siguiente:                     2·(x+1)
Puedes practicarlo haciendo clic aquí
MONOMIOS:

·        Definición: Es una expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:


Coeficiente: El número que multiplica
Parte literal: Parte de las letras.
Grado: La suma de los exponentes de las letras.

Puedes practicar esto aquí


·        Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.

Ejemplo: Si suponemos que x=2, y =3, entonces, el valor numérico de 3xy es: 3·2·3=12

OPERACIONES CON MONOMIOS



Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x2   y   2x no son semejantes

·        3x2y  , 5xy2 no.

·        3x2y ,  -7yx2 sí.



SUMA Y RESTA DE MONOMIOS: 



Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:

Ejemplos:

·        3x+5x-7x+9x= 10x

·        5x2-9x2+6x2-3x2= -1x2 = -x2

·        4x3-2x+6x3+7x= 10x3+5x



MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:



No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

Ejemplos:

·        2x·5x2= 10x3

·        3x2y3·(-5)xy2= -15x3y5

·        2xy3·(-1/4)x2y5z2=(-2/4)x3y8z2

         DIVISIÓN DE MONOMIOS


Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:

(4x3) : (2x2) = 2x

(3x2) : (15x4) = 1/(5x2) Esto es una fracción algebraica




POLINOMIOS

Es la suma indicada de varios monomios. Ejemplos:

P=5x2+2x-1     
Q=-7x3+15x2y-2xy2+y3
 
Grado de un polinomio: El grado del monomio de mayor grado.
En este caso, 
P es de grado 2
Q es de grado 3

Valor numérico: El resultado de sustituir las letras por números y calcular.
Para x= 1, P(1)=5·12+2·1-1=6
Para x=-2, P(-2)=5·(-2)2+2·(-2)+1=20-4+1=17
Para x=2, y=-1, Q(2,-1)=-7·23+15·22·(-1)-2·2·(-1)2+(-1)3=-56-60-4-1=-121



SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Veamos un ejemplo

A= 2x2-5x+7    B=-3x3+6x2+3x-1


  A+B










  A-B



           Al polinomio que resta le cambio los signos

   



 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:



Polinomio x número:

(-2)·(2x3-x2-7x-1)= -4x3+2x2+14x+2


Polinomio x monomio:

(-3x2)·(2x3-x2-7x-1)= -6x5+3x4+21x3+3x2


Polinomio x polinomio:

(-3x2+2x-3)·(2x3-x2-7x-1)
                                 
                                            


También está explicado aquí.

PRODUCTOS NOTABLES

Veamos qué pasa cuando hacemos las siguientes multiplicaciones:


(x+1)2=(x+1)·(x+1)= x2+2x+1

(2x+3)2=(2x+3)·(2x+3)= 4x2+12x+9


(x-1)2=(x-1)·(x-1)= x2-2x+1

(2x-3)2=(2x-3)·(2x-3)=  4x2-12x+9


(x+1)·(x-1)= x2-1

(2x+3)·(2x-3)= 4x2-9

De aquí obtenemos las siguientes identdades notables:
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)2= a2-2·a·b+b2
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a2-b2
Suma por diferencia,  es igual a diferencia de cuadrados.

Aquí puedes practicar las identidades notables


SACAR FACTOR COMÚN:

Aquí vemos algunos ejemplos de cómo sacar factor común en polinomios. Hemos de ver qué factores, numéricos o literales, se repiten en cada uno de los términos que componen el polinomio. el producto de la expresión resultante debe ser igual a la exptresión inicial. Veamos algunos ejemplos:

·        2x+4x2-6x3+8=2·(x+2x2-3x3+4)

·        6x2+12x3-15x4+3x=3x·(2x+4x2-5x3+1)

·        2x3-12x2+18x=2x·(x2-6x+9)

·        4x2+16x3-8x5-12x6=4x2·(1+4x-2x3-3x4)

·        5xy+10x2y-15xy2+60x3y2=5xy·(1+2x-3y+12x2y)

Puedes practicar la extracción de factor común aquí


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