jueves, 10 de enero de 2013

3ESO. TEMA 5. POLINOMIOS

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Traducción de enunciados a lenguaje algebraico:
·         Un número natural … x , n , a
·         El siguiente de ese número: n+1
·         El anterior: … n-1
·         El doble de un número más cinco unidades: 2x+5
·         El doble del resultado de sumar cinco unidades a un número: 2·(x+5)
·         La mitad de un número: x/2
·         La tercera parte del resultado de sumar tres unidades al doble de un número: (2x+3)/3

Expresiones algebraicas. Tipos:
·         Identidad: Igualdad algebraica que se cumple siempre. Ejemplo:
a+b=b+a (Propiedad conmutativa de la suma)
a+(b+c)=(a+b)+c (Propiedad asociativa)
a·(b+c)=a·b+a·c (Propiedad distributiva)
2·(x+1)=2x+2
·         Ecuación: Igualdad algebraica, que sólo se cumple para algunos valores de las letras, que son las soluciones de la ecuación. Ejemplo:
2x=6, solución x=3
X2-1=3, soluciones: x=2, x=-2
·         Monomios: Expresión algebraica en la que aparecen números y letras multiplicándose. Ejemplos:
3x ; 3x2 ; 3x3y2z ; (1/2)a·b

·         Polinomios: Varios monomios.
3x+1 ; 2x2-5x+3 ; 5x3-7x2+6x-3

Monomios.
Coeficiente: El número que multiplica.
Parte literal: La parte de las letras.
Grado: La suma de los exponentes de la parte literal.
·         Valor numérico: Es el resultado de sustituir las letras por números y realizar las operaciones.
Si suponemos que x=2, y=3, z=1

OPERACIONES CON MONOMIOS

Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.

Ejemplos:

·        33x, 2x, -5x, (-1/2)x, son semejantes

·        2x2   y   2x no son semejantes

·        3x2y  , 5xy2 no.

·        3x2y ,  -7yx2 sí.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes:
Ejemplos:
·        3x+5x-7x+9x= 10x
·        5x2-9x2+6x2-3x2= -1x2 = -x2
·        4x3-2x+6x3+7x= 10x3+5x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:
Ejemplos:
·        2x·5x2= 10x3
·        3x2y3·(-5)xy2= -15x3y5
·        2xy3·(-1/4)x2y5z2=(-2/4)x3y8z2

DIVISIÓN DE MONOMIOS
Tampoco hace falta que sean semejantes. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. Ejemplos:
(4x3) : (2x2) = 2x
 
Puedes ver otros apuntes sobre esto haciendo clic aquí.

POLINOMIOS. OPERACIONES.

Puedes ver las operaciones con polinomios aquí.

 

PRODUCTOS NOTABLES




Veamos algunos ejemplos:

(x+1)2=(x+1)·(x+1)= x2+2x+1
(2x+3)2=(2x+3)·(2x+3)= 4x2+12x+9
(x-1)2=(x-1)·(x-1)= x2-2x+1
(2x-3)2=(2x-3)·(2x-3)=  4x2-12x+9
(x+1)·(x-1)= x2-1
(2x+3)·(2x-3)= 4x2-9

Así, obtenemos las siguientes identidades:
(a+b)2=a2+2·a·b+b2

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)2= a2-2·a·b+b2

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)·(a-b)= a2-b2


Suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

Puedes practicar los productos notables aquí. 



SACAR FACTOR COMÚN:


Hemos de buscar los factores que se repiten en cada uno de los términos del polinomio, de modo que al realizar el producto resultante nos vuelva a salir el polinomio inicial.

Veamos algunos ejemplos de cómo se saca factor común:



·         2x+4x2-6x3+8=2·(x+2x2-3x3+4)

·         6x2+12x3-15x4+3x=3x·(2x+4x2-5x3+1)

·         2x3-12x2+18x=2x·(x2-6x+9)

·         4x2+16x3-8x5-12x6=4x2·(1+4x-2x3-3x4)

·         5xy+10x2y-15xy2+60x3y2=5xy·(1+2x-3y+12x2y)