1ESO, 2ESO. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

1ESO: Aquí os pongo los ejercicios de la unidad.
1ESO: Aquí os pondré los apuntes actualizados.

2ESO: Aquí podéis descargar los apuntes actualizados y el deber

RAZÓN Y PROPORCIÓN:

Una razón es un cociente indicado entre dos números, por ejemplo: ¾

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

 Cálculo del término desconocido de una proporción:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Magnitud: Es una cualidad de las cosas que se puede medir. Por ejemplo: longitud, peso, volumen, temperatura, tiempo, precio, …

Dos magnitudes son directamente proporcionales si cuando una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción.

Ejemplos:

• Distancia y tiempo: si voy a una velocidad continua, si recorro 10m en 3s, 20m los recorreré en 6s.

•  Kilos de naranjas, coste: El precio de la naranja es 0,55€/kg, si compro 5kg, me cuestan 2,50€, si compro 10kg, 5€

Resolución de problemas, método de reducción a la unidad:

José Manuel hace una ruta en bicicleta a velocidad constante. Ha recorrido en 2h 48km, ¿cuánto  recorrerá en 1h?¿Y en 3h?

2h --- 48km

1h --- 48/2=24km (Es decir, va a 24km/h)

3h --- 24·3=72km

 Un grifo tira 12l de agua en 3 minutos, ¿cuántos tirará en 5min?

3min --- 12l

1min --- 12/3=4l

5min --- 4·5=20l

Veamos un ejemplo por REGLA DE 3:

4h de aparcamiento me cuestan 5€, ¿cuánto me costarán 7h?

4h ---D--- 5€          

7h --------- x       

MAGNITUDES INVERSAMENTE  PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si cuando una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.

Ejemplos:

• Velocidad y tiempo en recorrer una distancia.
• Número de trabajadores y tiempo que se tarda en realizar un trabajo.

Jose Manuel va de Guadassuar a Alzira en bici, veamos qué pasa si va cambiando su velocidad:

Tiempo	60min	30min	20min	10min	5min
Velocidad	5km/h	10km/h	15km/h	30km/h	60km/h

Igualmente podemos utilizar el método de reducción a la unidad pero de forma inversa, veamos un ejemplo:

 Dos trabajadores limpian el parque en 3 horas, ¿cuánto tardará un trabajador? ¿Y cuatro?

 2 trabajadores ----- 3h
1 trabajador -------- 3·2=6h (al ser inversa, la mitad de personas tardarán el doble de tiempo)
4 trabajdores ------- 6/4=1,5h=1h 30min 

También podemos resolverlo con la regla de 3 inversa, teniendo en cuenta que al escribir la proporción del problema hay que darle la vuelta a una de las razones:

2 trab. ---------- 3h

4 trab. ---------- x h

2ESO: PODÉIS HACER AQUÍ ACTIVIDADES INTERACTIVAS Y DE REPASO DEL TEMA.   

2ESO: PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Veamos algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad compuesta:

Ejemplo1: 

Un granjero ha necesitado 336kg de pienso para alimentar 12 terneros durante una semana. ¿Cuántos kilos necesitará para 20 terneros durante 30 días?

336kg -----D----- 12 terneros ---------- 7 días

X     -------------- 20 terneros ---------- 30días

 ---------------- D --------------------------

Aquí analizamos si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales respecto de la incógnita. Así:

- A más terneros, necesitaremos más kilos de pienso es directa.

- A más días, necesitaremos más kilos de pienso; también es directa.

Planteamos la proporción del problema de la siguiente manera y resolvemos:

 

 

Ejemplo 2: 

Un grupo de obreros trabajando 8h/d construyen 480m² de pared en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán los mismos obreros en construir 900m² trabajando 10h/d?

8h/d ------------ 480m² ------D----- 10 días

10h/d ----------- 900 m² ---------- x

  ------------------------ I -------------- A la razón que sea inversa le doy la vuelta; escribimos la proporción de la siguiente forma y resolvemos:

PORCENTAJES

Un porcentaje se puede entender como una regla de 3 directa:

15% de 125:

100% ---D--- 125

15% ----------- x 

entonces, x=15·125/100=18,75

También se puede entender un % como el cálculo de la fracción de un número:

15% de 125 = (15/100)·125=(3/20)·125=18,75

También se puede ver como un número decimal:

15% de 125 =(15/100)·125 = 0,15 · 125 = 18,75

Se nos puede plantear tres tipos de problemas con porcentajes directos:

• Cálculo de un porcentaje directo. 

Como ya hemos visto en el ejemplo anterior, 15% de 125 = 15·125/100

• Cálculo del total, conocida la parte y el porcentaje.

En una clase de 2º de ESO 6 alumnos colaboran con una ONG, lo que representa el 25% del total de la clase. ¿Cuántos alumnos hay en total?

En este caso lo planteamos de la siguiente forma:

25% de x = 6, así aplicamos el cálculo del porcentaje al revés que en el ejemplo anterior.

x= 6 ·100/25 = 24 alumnos y alumnas

• Cálculo del porcentaje, conocida la parte y el total.

 En la misma clase que antes, 6 alumnos han obtenido una nota superior a 9 en el último examen de Matemáticas. ¿Qué porcentaje de sobresalientes ha habido?
Aquí, siguiendo el mismo procedimiento que antes, aplicamos la siguiente expresión:

% = (Parte/Total)·100

Así, nos queda: % = (6/24)·100 = 25%

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Vamos a una tienda de ropa y vemos el siguiente artículo:

Pantalón: 24€+21%IVA

IVA=24·21/100=5,04€, por lo tanto, el precio final es: 24+5,04=29,04€

Posteriormente, la misma tienda pone artículos en rebajas:

 

Rebajas: Pantalón 29€, con el 25% de descuento

25% de 29 = 25·29/100= 7,25€ de descuento, precio final = 29-7,25 = 21,75€

2ESO: INTERÉS SIMPLE:

Ejemplo: Toni tiene ahorrados 5500€ que ingresa en un plazo fijo al 2,5% de interés simple anual durante 4 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese período?

1 año: 2,5% de 5500€ =137,50€ de intereses

En 4 años: 137,50·4 = 550€ de intereses

Al final de los 4 años tendrá 5500+550=6050€

FÓRMULA DEL INTERÉS SIMPLE:

Aquí tenéis el enlace a la misma entrada de 3º de ESO, que también está explicado.